Методы решения задач с параметрами

[Stensen]

Всем доброго здравия. Возник вопрос. Рассмотрим кусочно-линейную функцию с параметром: $ y(x,a)= k \left\lvert x-a \right\rvert + \sum\limits_{1}^{N} k_i \left\lvert x-x_i \right\rvert $, где: $x_i, k_i, k, N $ - известны и нужно найти локальные экстремумы $ y(x,a) $ при различных значениях параметра $a \in X $ (в предположении, что для $ y(x,a) $ этот экстремум существует). Т.е. что-то вроде частных производных в гладком случае. Часто такие задачи решают графически, а есть ли какие-то общие способы решать такие задачи хотя бы около аналитическими методами, типа как для дифференцируемых функций? Вроде напрашивается метод линейного программирования, может и нет? Натолкните на мысль. Где можно про такое почитать? Или, если это осуществимо в рамках задач линейного программирования, помогите сформулировать постановку этой задачи для запуска симплекс-метода.

[svv]

Такая функция может иметь экстремумы только ... где?
Ну, или где она их заведомо не может иметь?

[Stensen]

svv в сообщении #1207031 писал(а):

Такая функция может иметь экстремумы только ... где?
Ну, или где она их заведомо не может иметь?

Локальные экстремумы только в узлах. Но эти узлы будут двигаться в зависимости от параметра. Перебирая все узлы функции при фиксированном параметре, не сложно найти экстремумы. Но я то хотел найти параметр, при котором функция достигнет экстремума на заданном отрезке. Вопрос возник давно, сейчас не вспомню конкретный пример. Интересует общий подход к таким задачам (с параметрами). Есть ли какие-то общие методы для их решения или это творческое исследование для каждого конкретного примера?

[Brukvalub]

Как обычно: разбить ось на участки знакопостоянства всех подмодульных выражений, раскрыть модули, подсчитать угловые коэффициенты линейных функций. Экстремумы будут в тех узлах, при переходе через которые угловой коэффициент меняет знак.
Зачем здесь линейное программирование? Вы понимаете смысл этого термина?

[Stensen]

Brukvalub в сообщении #1207071 писал(а):

Зачем здесь линейное программирование? Вы понимаете смысл этого термина?

1. Если правильно понимаю, нахождение экстремума целевой функции при заданных ограничениях. Переползая с одной вершины многогранника ограничений (заданного линейными уравнениями/неравенствами) на другой, ищем экстремум целевой линейной функции. Я вот и подумал, что если удастся формализовать задачу нахождения экстремума кусочно-линейной функции, зависящей от параметра (в рамках некоторых ограничений), как задачу ЛП (линейного программирования), то возможно так можно решать задачи с параметром? Но формализовать не осилил. Вот нашел пример из ЕГЭ: Найти все значения $a $, при каждом из которых наименьшее значение функции: $ f(x)=4ax+ \left\lvert x^2-6x+5 \right\rvert $ больше, чем $-24$. Понимаю, что эту можно решить и без ЛП, просто хочу попробовать. Можно эту задачу формализовать как ЛП? Подскажите идею. Функция под модулем - нелинейная, но это сути не меняет.
2. Дело не в ЛП. Я интересуюсь есть ли какие-либо общие методы, не обязательно ЛП, решения такого типа задач?

[Brukvalub]

Stensen в сообщении #1207214 писал(а):

Вот нашел пример из ЕГЭ: Найти все значения $a $, при каждом из которых наименьшее значение функции: $ f(x)=4ax+ \left\lvert x^2-6x+5 \right\rvert $ больше, чем $-24$. Понимаю, что эту можно решить и без ЛП, просто хочу попробовать. Можно эту задачу формализовать как ЛП? Подскажите идею. Функция под модулем - нелинейная, но это сути не меняет.

Предлагаю вам самостоятельно детальнее ознакомиться с разделом математики "линейное программирование", чтобы не писАть глупостей.

[Stensen]

Brukvalub в сообщении #1207217 писал(а):

Предлагаю вам самостоятельно детальнее ознакомиться с разделом математики "линейное программирование", чтобы не писАть глупостей.

Вы видимо имеете в виду, что ЛП работает с линейными функциями, а у меня под модулем не линейная? Вот нашел другую задачу: Найти наименьшее значение функции: $f(x,m)=\left\lvert 6x+5m+7 \right\rvert+ \left\lvert2x+3m+1 \right\rvert $ и значения $-5 \leqslant x \leqslant 20; \, -10 \leqslant m \leqslant 20 $ , при которых оно достигается. Такую задачу можно сформулировать как ЛП?

[Someone]

Stensen в сообщении #1207233 писал(а):

Вы видимо имеете в виду, что ЛП работает с линейными функциями, а у меня под модулем не линейная?

По определению задачи линейного программирования все ограничения должны задаваться линейными неравенствами и уравнениями, и целевая функция должна быть линейной функцией. Во всех остальных случаях речь идёт о задаче нелинейного программирования. И изредка встречаются задачи нелинейного программирования, которые можно разными хитрыми способами преобразовать в задачи линейного программирования.
Если Вы для своей задачи такое преобразование придумаете — флаг Вам в руки.

[Stensen]

Блин,опять мимо. В общем понял, что решать надо нелинейным программированием (НЛП )

Всем спасибо.

[Someone]

Stensen в сообщении #1207258 писал(а):

В общем понял, что решать надо нелинейным программированием

Избави бог.

[Stensen]

Someone в сообщении #1207261 писал(а):

Stensen в сообщении #1207258 писал(а):

В общем понял, что решать надо нелинейным программированием

Избави бог.

Я в смысле, что ЛП не подходит. А общий подход пока только:

Brukvalub в сообщении #1207071 писал(а):

Как обычно: разбить ось на участки знакопостоянства всех подмодульных выражений, раскрыть модули, подсчитать угловые коэффициенты линейных функций. Экстремумы будут в тех узлах, при переходе через которые угловой коэффициент меняет знак.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Stensen в сообщении #1207258 писал(а):

НЛП

Будьте бдительны! Аббревиатура НЛП обычно используется для обозначения Нейролингвистического Программирования (это когда к бабушке на улице подходит цыганка и заговаривает ее до такого состояния, что бабушка сама ведет цыганку домой и отдает ей свои "гробовые")
Так что не советую вам использовать НЛП.

[Stensen]

Brukvalub в сообщении #1207277 писал(а):

(Оффтоп)

Stensen в сообщении #1207258 писал(а):

НЛП

Будьте бдительны! Аббревиатура НЛП обычно используется для обозначения Нейролингвистического Программирования (это когда к бабушке на улице подходит цыганка и заговаривает ее до такого состояния, что бабушка сама ведет цыганку домой и отдает ей свои "гробовые")
Так что не советую вам использовать НЛП.

(Оффтоп)

Именно поэтому у меня глаза на лоб и вылезли , сам испугался, что такое написАл.