Доказать, что длина отрезка строго меньше

[Pratavetraa]

Добрый день. Дана $f(x)$, на некотором $[a,b]$, которая удовлетворяет ур. $yy'=1+x^2+y^4$ . Требуется доказать, что длина данного отрезка строго меньше $\pi/4$


Было предложение заморозить $x$ на интервале.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- несодержательный заголовок,
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 10.04.2017, 14:19 --

Задача, по-моему, на олимпиадную не тянет, но посложнее стандартных задач по ДУ.
Я не знаю, что Вы имеете в виду под "заморозить $x$", но попробуйте поменять правую часть на более простую так, чтобы уравнение решалось точно и решение исходного уравнения можно было оценить с помощью решения простого уравнения.

[Евгений Машеров]

Наивная мысль - $z=y^2$

[kotenok gav]

Евгений Машеров в сообщении #1208371 писал(а):

Наивная мысль - $z=y^2$

А чем же она наивная? Получается общее уравнение Риккати, которое вполне можно решить.

[Евгений Машеров]

И которое вполне решаемо, правда, в спецфункциях. Но "на кота широко, на собаку узко". Решение такого уравнения условием задачи не требуется, а решать полностью, только чтобы ответить на вопрос - перебор. А красивый фокус мне что-то в голову не приходит... Думаю-с...

[Евгений Машеров]

И какое-то меня смутное сомнение мучает - а вообще доказуемое верно? После предложенной подстановки, начиная с $y(0)=0$ получаем, что вполне себе удовлетворяет на очень длинном отрезке.

[alcoholist]

Pratavetraa
проинтегрируйте неравенство $yy'\ge 1+y^4$ и обоснуйте, что так можно делать

[Евгений Машеров]

Я точно чего-то не понимаю.
$y'=\frac 1 y +\frac {x^2} y +y^3$
Начальные условия $x=0$ и $y(0)=1$
Производная положительна (но конечна при любых неотрицательных x и положительных y), y монотонно возрастает, и получается, что искомый отрезок от нуля до бесконечности.
Что я не понимаю в условии или где ошибаюсь в рассуждениях?

[Xaositect]

Откуда получается продолжаемость до бесконечности? $y$ будет возрастать очень сильно, и в конце концов пойдет в бесконечность.
Вот, например, более простой пример $z' = 1 + z^2$, где вылезают тангенсы. А решение нашего ДУ можно оценить этими тангенсами снизу.

[alcoholist]

Евгений Машеров

alcoholist в сообщении #1208632 писал(а):

проинтегрируйте неравенство $yy'\ge 1+y^4$