Доказательство теоремы Ферма для третьей степени

[IVANmarina]

В определенных математических кругах сложилось мнение, что Ферма был неправ, утверждая, что нашел простое доказательство своей знаменитой теоремы.
Цель данного исследования - доказать справедливость слов французского математика.
Формулировка теоремы: равенство в натуральных числах
$a^n+b^n =c^n$ не выполняется при n>2.
Доказательство теоремы достаточно провести для простых нечетных степеней n и степеней, кратных 4.
Доказательство для $n=3$:
Рассмотрим преобразование в натуральных числах
$(x+t)^3-x^3=t(t^2+3x(x+t))$,
x не кратно 3, x и t взаимно простые числа.
На основании этого преобразования очевидны утверждения:
если разность кубов кратна $3^k$, то разность оснований t кратна $3^{k-1}$; (1а)
если разность кубов кратна 3, то разность кубов кратна $3^k$, k$\geqslant2$. (1б)
Доказательство теоремы для $n=3$ проводим методом от противного: предположим, что выполняется равенство
$a^3+b^3 =c^3$, где a, b, c, - взаимно простые числа.
Рассмотрим преобразование:
$a^3=c^3-b^3=(c-b)((c-b)^2+3cb)$, откуда (2а)
$a^3=(c-b)^3+3cb(c-b)$,
$a^3-(c-b)^3=3cb(c-b)$. (2б)
На основании утверждения (1б) равенство (2б) будет выполняться, если одно из чисел b, c или c-b будет кратным числу $3^k$, где k - натуральное число.
1) Пусть c кратно $3^k$. Тогда правая часть равенства (2б) кратна числу $3^{k+1}$ и, на основании утверждения (1а), разность оснований a+b-c равенства (2б) кратна числу $3^k$.
$ c^3=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ba)$. (3)
Так как a+b-c кратна числу $3^k$ и c кратно числу $3^k$, то a+b кратно числу $3^k$. Тогда правая часть равенства (3) кратна числу $3^{k+1}$. Значит, и левая часть $c^3$ кратна числу $3^{k+1}$.
Получили противоречие с исходным условием: c кратно $3^k$.
2) Пусть b кратно $3^k$.Тогда в равенстве (2б) правая часть кратна $3^{k+1}$ и, на основании (1а), разность оснований a+b-c кратна числу $3^k$.
$b^3=c^3-a^3=(c-a)((c-a)^2+3ca)$. (4)
Так как a+b-c кратна числу $3^k$ и b кратно числу $3^k$, то c-a кратно числу $3^k$. Тогда правая часть равенства (4) кратна числу $3^{k+1}$. Значит, и левая часть $b^3$ кратна числу $3^{k+1}$.
Получили противоречие с исходным условием: b кратно $3^k$.
3) Пусть c-b кратно $3^k$. Тогда, на основании утверждения (1а), в равенстве (2б) разность оснований a+b-c кратна числу $3^k$. Учитывая, что в этой разности c-b кратно $3^k$, делаем вывод, что и a кратно $3^k$, тогда $ a^3$ кратно числу $3^{3k}$. (5а)
Далее, так как c-b кратно $3^k$, то в преобразовании (2а) $ a^3$ кратна числу $3^{k+1}$. (5б)
Сравнивая выводы (5а) и (5б), приходим к противоречию: одно и то же число кратно разным степеням числа 3.

Рассмотрев все случаи кратности правой части равенства (2а), пришли к противоречиям. Значит, предположение о справедливости равенства $a^3+b^3 =c^3$ неверно.

[ludwig51]

IVANmarina в сообщении #1205857 писал(а):

(5а)
Далее, так как c-b кратно $3^k$, то в преобразовании (2а) $ a^3$ кратна числу $3^{k+1}$. (5б)
Сравнивая выводы (5а) и (5б), приходим к противоречию: одно и то же число кратно разным степеням числа 3.

Рассмотрев все случаи кратности правой части равенства (2а), пришли к противоречиям. Значит, предположение о справедливости равенства $a^3+b^3 =c^3$ неверно.

Контрпример:
a=9, k=2


Иван Горин

[IVANmarina]

Если вы согласны с утверждениями (1аб), то рассуждаем так: равенство Ферма симметрично относительно a и b. Значит, ваш контпример можно рассматривать при $b=9$, $k=2$. Далее смотрим доказательство п.2

[Someone]

IVANmarina, Вы плохо считаете степени тройки, на которые делятся те или иные выражения.

IVANmarina в сообщении #1205857 писал(а):

$a^3=c^3-b^3=(c-b)((c-b)^2+3cb)$

Если $c^3-b^3$ делится на какую-то степень тройки, бóльшую нулевой, то $a$ обязательно делится на $3$. Пусть $a$ делится на $3^k$, $k\geqslant 1$, и не делится на $3^{k+1}$. Тогда $c^3-b^3$ делится на $3^{3k}$ и не делится на $3^{k+1}$. Легко показать, что в этом случае $c^2+bc+b^2$ делится на $3$, но не делится на $3^2$. Так как $c^3-b^3=(c-b)(c^2+bc+b^2)$, то отсюда следует, что $c-b$ делится на $3^{3k-1}$ и не делится на $3^{3k}$.

Заметим, что случай $k=1$ можно привести к противоречию, но при $k\geqslant 2$ противоречие не получается, поскольку существуют решения по любому модулю вида $3^M$, в которых $a\equiv 0\pmod{3^2}$, но $a\not\equiv 0\pmod{3^3}$.

[IVANmarina]

Доказательство базируется на утверждениях (1аб). Если вы не согласны с этими утверждениями, найдите там ошибку. Если вы согласны с этими утверждениями, найдите ошибку в доказательстве. Не надо приводить выкладки в отрыве от моих утверждений.

[ludwig51]

IVANmarina в сообщении #1206157 писал(а):

Если вы согласны с утверждениями (1аб), то рассуждаем так: равенство Ферма симметрично относительно a и b. Значит, ваш контпример можно рассматривать при $b=9$, $k=2$. Далее смотрим доказательство п.2

не приходим к противоречию в 5а и 5b: одно и то же число может быть кратно разным степеням числа 3.
Контрпример я привёл.
Проверьте.
А если есть контрпример то время на чтение доказательства можно не тратить.

[Someone]

ludwig51 в сообщении #1206231 писал(а):

А если есть контрпример то время на чтение доказательства можно не тратить.

Совершенно верно, это стандартный подход в математике: если есть контрпример, то поиск ошибки — это забота автора доказательства, остальных это может не заинтересовать.

Наличие решений по некоторому (достаточно большому) модулю $3^M$ — это тоже контрпример, поскольку IVANmarina говорит именно о делимости на степени тройки.

[IVANmarina]

Спасибо за замечания. Я с ними согласен. Получилось, что я доказательство "вывернул наизнанку". Вношу коррективы.

$a^3=c^3-b^3=(c-b)((c-b)^2+3cb)$, (2а)
$a^3=(c-b)^3+3cb(c-b)$,
$a^3-(c-b)^3=3cb(c-b)$. (2б)
$ c^3=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ba)$, (3а)
$(a+b)^3-c^3=3ab(a+b)$. (3б)
$b^3=(c-a)((c-a)^2+3ca)$, (4а)
$b^3-(c-a)^3=3ca(c-a)$. (4б)

На основании утверждения (1б) равенство (2б) будет выполняться, если одно из чисел b, c или c-b будет кратным числу $3^k$, где k - натуральное число.

1) Пусть c кратно $3^k$ (Замечание. Противоречивость условию будет получена, если c окажется кратным числу $3^m$, m больше k) $\Rightarrow$ $c^3$ кратно $3^{3k}$ $\Rightarrow$ правая часть (3а) кратна $3^{3k}$ $\Rightarrow$ в (3а) a+b кратно $3^{3k-1}$ $\Rightarrow$ правая часть (3б) кратна $3^{3k}$ $\Rightarrow$ разность оснований левой части (3б) a+b-c кратна числу $3^{3k-1}$, но a+b кратно $3^{3k-1}$, значит, c кратно$ 3^{3k-1}$. Получили противоречие с условием: c кратно $3^k$.

2) Пусть b кратно $3^k$ $\Rightarrow$ $b^3$ кратно $3^{3k}$ $\Rightarrow$ правая часть (4а) кратна $3^{3k}$ $\Rightarrow$ в (4а) c-a кратно $3^{3k-1}$ $\Rightarrow$ правая часть (4б) кратна $3^{3k}$ $\Rightarrow$ разность оснований левой части (4б) a+b-c кратна числу $3^{3k-1}$, но c-a кратно $3^{3k-1}$, значит, b кратно $ 3^{3k-1}$ . Получили противоречие с условием: b кратно $3^k$.

3) Пусть c-b кратно $3^k$ $\Rightarrow$ правая часть (2б) кратна $3^{k+1}$ $\Rightarrow$ разность оснований левой части (2б) a+b-c кратна числу $3^k$, но c-b кратно $3^k$, значит, a кратно $3^k$ $\Rightarrow$ $a^3$ кратно $3^{3k}$ $\Rightarrow$ правая часть (2а) кратна $3^{3k}$ $\Rightarrow$ в правой части (2а) c-b кратно $3^{3k-1}$. Получили противоречие с условием:c-b кратно $3^k$ .


Рассмотрев все случаи кратности правой части равенства (2а), пришли к противоречиям. Значит, предположение о справедливости равенства $a^3+b^3 =c^3$ неверно.

[Lia]

IVANmarina
Там кнопочка "Предпросмотр" есть, пользуйтесь.

[Коровьев]

IVANmarina в сообщении #1206713 писал(а):

Значит, предположение о справедливости равенства $a^3+b^3 =c^3$ неверно.

Надо бы добавить - "Поскольку в четырёх первых строчках доказательства я самостоятельно не могу найти ошибку, то помогите мне её найти"

[IVANmarina]

Коровьев
,смеется тот, кто смеется последним. Придумайте лучшее доказательство, и я буду вам аплодировать.

[Коровьев]

Аксиома.
Если вы доказали теорему Ферма с помощью четырёх арифметических действий, то прежде, чем вываливать этот бред на головы читателей, ищите ошибку. Если таковой найти не удалось, то публикуйте доказательство с просьбой помочь найти ошибку.

Хотя просьбы таковой и не поступало, видимо, по причине самоуверенности, я укажу на ошибку.
Уравнение (3б)
$$\[ \left( {a + b} \right)^3 - c^3 = 3ab\left( {a + b} \right) \] $
надо расписать
$$\[ \left( {a + b} \right)^3 - c^3 = \left( {a + b - c} \right)\left( {\left( {a + b} \right)^2 + \left( {a + b} \right)c + c^2 } \right) = 3ab\left( {a + b} \right) \] $
и ,о чудо , противоречия как не бывало.

[IVANmarina]

Коровьев
Да, я опубликовал статью, чтобы нашли в ней ошибку. И что?
И не косите под Коровьева. Вам до него далеко. Вы, скорей всего, Коровин. Или Моржовин.
По поводу доказательства: читайте его внимательней.

[Toucan]

IVANmarina, предупреждение за обсуждение ника пользователя в тематическом разделе, личные выпады и нарушение правил форума, касающихся дискуссионных тем:

Forum Administration в Правилах форума писал(а):

3.3. Не допускаются аргументы типа: "Я уже отвечал на этот вопрос, а если вы мой ответ не поняли - это не мое дело". Ответить на вопрос так, чтобы его поняли и приняли, является заботой автора темы. Не допускаются отписки вида: "Перечитайте внимательно мой текст, там есть ответ на ваш вопрос". Если вопрос задан, то это значит, что участник не видит ответа на него. Автор темы обязан либо ответить на вопрос, либо процитировать свой ответ, если полагает, что он уже был дан раньше.

[provincialka]

IVANmarina в сообщении #1206965 писал(а):

Придумайте лучшее доказательство, и я буду вам аплодировать.

Методически неверное и этически некрасивое замечание.