Хитрое множество.

[Alexey Rodionov]

“В свободный часок на полчасика я прилег позабавиться классикой.”

В этот раз почитать “Анализ на многообразиях”, М. Спивак.
В задаче 1.18 рассматривается объединение открытых интервалов содержащих каждое рациональное число из $(0,1)$, причем объединение интервалов, обозначенное $A$, вложено в $[0,1]$.
Ну и что. И не такое бывает. А вот в задаче 3.11 хотят чтобы сумма длин интервалов, составляющих множество $A$ была меньше 1. Долго переживал, спросил у тополя, но так и не знаю, бывает ли такое $A$. Будьте добры, убедите.

[ewert]

Alexey Rodionov в сообщении #1205005 писал(а):

Долго переживал, спросил у тополя, но так и не знаю, бывает ли такое $A$.

Не надо спрашивать у Э.Тополя -- не факт, что он в курсе. Лучше всмотритесь в рассмотрения. Там ведь (независимо ни от какой книжки) достаточно того, что каждый интервальчик покрывает хотя бы одну, очередную рациональную точку. Соответственно, и длины этих интервальчиков могут быть какими угодно -- в т.ч. и сколь угодно быстро убывающими.

[svv]

Это тем контринтуитивнее, что интервальчики ещё и перекрываются!

[Alexey Rodionov]

Спасибо. Подняли веки.
Что перекрываются - это полбеды, а что не весь (0,1) покрывают - полторы беды.

[ewert]

Alexey Rodionov в сообщении #1205078 писал(а):

а что не весь (0,1) покрывают - полторы беды.

а с какой стати они весь будут покрывать, если их суммарная длина соль угодно мала (а суммарная длина их объединений -- так и того меньше, ессно)?...

[ИСН]

Меня тоже этот факт возмущает уже не один десяток лет. Но что поделаешь. Привык. Да, покрывает не весь. Остаются дырки. Какие дырки? Хитрые.

[Alexey Rodionov]

Опыт Кантора показывает, что не ко всему можно привыкнуть.

Хотя некоторым кажется, что в этом суть образования.
"Студент сначала не понимает, а потом привыкает."

А на всякую хитрую дырку чего-нибудь, да найдется.
Это я публично сам с собой брежу. От неловкости за постановку.