Вкроятность деления нацело

[druggist]

Какова вероятность того, что взятое наугад достаточно большое целое положительное число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка?
С мудростью блондинки сразу же заключаем, что $P(2)=5/10=0.5$, $P(5)=2/10=0.2$, скорее всего $P(4)=P(2)P(2)=0.25$, $P(8)=P(2)^3=1/8$, а чему равны $P(3) $ и $P(7)$ ?
Интуитивно ясно, что вроде бы $P(k)=1/k$, но насколько очевидно доказательство?

[Xaositect]

Ну для начала надо определить, что такое "взятое наугад достаточно большое число". В смысле, задать вероятностное пространство.

[mihailm]

Взятое наугад достаточно большое целое положительное число практически достоверно делится и на 2 и на 5 - ежу понятно. Проведите эксперимент - попросите народ назвать достаточно большое целое число

[druggist]

Xaositect в сообщении #1203429 писал(а):

Ну для начала

Ну, для начала, любое целое число большее миллиона

mihailm в сообщении #1203431 писал(а):

практически достоверно делится и на 2 и на 5

Это почему?

[Xaositect]

druggist в сообщении #1203435 писал(а):

Ну для начала. любое целое число большее миллиона

Вопрос был по большей части не про "достаточно большое", а про "взятое наугад". Что это значит?

[mihailm]

druggist в сообщении #1203435 писал(а):

...

mihailm в сообщении #1203431 писал(а):

практически достоверно делится и на 2 и на 5

Это почему?

По кач Я вроде написал - проведите эксперимент и убедитесь

[gris]

Ерунда это. Вот эксперимент:
Сто миллионов секстиллионов. Триста тысяч двести двадцать два факториал. Десять в миллиардной степени. Проверяю в альфе.
Да Похоже, вы правы.
Последняя попытка: $2546840326548458787084351358786743548540$ Да чтож такое

[druggist]

Xaositect в сообщении #1203436 писал(а):

Что это значит?

Ткнули в число большее миллиона - оно делится на 5, взяли следующее наугад - не делится - и так далее. Вероятность будет отношение числа положительных исходов(делится нацело) к общему числу попыток

gris в сообщении #1203446 писал(а):

Триста тысяч двести двадцать два факториал.

Факториал любого числа большего 5 с вероятностью 1 делится на 5 без остатка.

[warlock66613]

druggist в сообщении #1203447 писал(а):

Ткнули в число большее миллиона

Опишите конкретно процедуру "тыкания". Без этого не о чем говорить.

[Xaositect]

Как тыкаем-то?
Натуральных чисел больше миллиона - счетное число. Это значит, что они не могут иметь равную вероятность (она не может быть положительной из-за бесконечности исходов, и не может быть нулевой из-за того, что вероятность счетно-аддитивна).

[arseniiv]

Ах если бы нас интересовало не достаточно большое число, а число с точностью до достаточно большого (скажем, делящегося на $\mathrm{LCM}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$) модуля!

[druggist]

Xaositect в сообщении #1203452 писал(а):

Как тыкаем-то?

Хорошо, пусть мы "тыкаем" в диапазон
$X-{\delta}X<X<X+{\delta}X$, устремляем $X$ и ${\delta}X$ к бесконечности так чтобы $X$ росло быстрее ${\delta}X$ . Кстати, это примерно то же, что и всем известная вероятность того, что число $X$ простое (т.н. гипотеза Крамера - "...вероятность того, что натуральное число $X$ является простым, равна примерно $ {\frac {1}{\ln x}$" - Модель Крамера простых)

[svv]

Пусть в результате испытания получаются целые числа от $1$ до $N$ с равной вероятностью. Если $N$ будет достаточно большим, Ваша $P(k)$ будет близка к $1/k$.

[druggist]

svv в сообщении #1203462 писал(а):

Ваша $P(k)$
будет близка к $1/k$.

Я спрашивал, как это показать

[svv]

$k$ не превосходит $9$, а $N$ произвольно велико.
Всего исходов $N$. Благоприятных $\lfloor \frac{N}{k} \rfloor$. Покажем, что $\lim\limits_{N\to\infty}\frac 1 N\lfloor \frac{N}{k} \rfloor=\frac 1 k$
И т.д.