Трудный предел

[frankenstein]

Есть простая в понимании задачка:
посчитать предел:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x^2}{x^2 \sin x^2} $$

Тут, получается неопределенность вида: $\frac{0}{0}$
Можно думаю сделать подстановку

$$y = x^2$$

Если $x \to 0$, то и $x^2 \to 0$
Получаем:

$$\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos y}{y \sin y}$$

Можно ли так делать?
Но, все равно не знаю как дальше поступить, нужна наводка

[ShMaxG]

frankenstein
Используйте формулы для синуса и косинуса двойного угла. И замечательные пределы вспомните.

Можно сделать замену $y=x^2$, только будет не $y \to 0$, а $y \to 0+$.

[frankenstein]

Я применил, так называемый прием Лопиталя
Получилось так:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x^2}{x^2 \sin x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x^2)'}{(x^2 \sin x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin x^2}{2 x \sin x^2 + 2x^3 \cos x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \frac{x^2 \cos x^2}{\sin x^2}} = $$

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \frac{\cos x^2}{\frac{\sin x^2}{x^2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \frac{1}{1}} = \frac{1}{2} $$

[Someone]

Можно было бы и проще, если вспомнить, как выражаются $1-\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ через $\sin\frac{\alpha}2$ и $\cos\frac{\alpha}2$.

[frankenstein]

Someone, попробую ваш метод тоже , сейчас...

-- 22.03.2017, 16:57 --

Итак:
Для удобства обозначим:

$$t = x^2$$

Из

$$ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos t}{2}} $$

Следует

$$ 1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2} $$

Тогда

$$ \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t \sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{t \sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 t \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin \frac{t}{2}}{2 \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} = \frac{1}{2} $$

-- 22.03.2017, 17:00 --

ShMaxG, Someone спасибо вам большое !!!

[nimepe]

Можно еще проще, если умножить числитель и знаменатель дроби на $(1+\cos x^2)$

[provincialka]

Все-таки без понятия "эквивалентных бесконечно малых" такие задачки выглядят как головоломки... А вот с ним -- ответ практически очевиден.

[frankenstein]

provincialka в сообщении #1202745 писал(а):

Все-таки без понятия "эквивалентных бесконечно малых" такие задачки выглядят как головоломки... А вот с ним -- ответ практически очевиден.

Можете дать ссылки на эту тему?

[Someone]

frankenstein в сообщении #1203493 писал(а):

Можете дать ссылки на эту тему?

Учебник по математическому анализу.