Сведение к признаку Лейбница

[loser228]

svv в сообщении #1202468 писал(а):

Ну, допустим, если я скажу, что
$s_{84}=-0,651893...$
$s_{86}=-0,866937...$
и при этом $s_{85}=\text{миллион}$, Вы поверите? Что тут неправдоподобно?

А, я понял, то есть для любого $n$ верно $s_{2n-2}\leqslant s_{2n-1}\leqslant s_{2n}$ , а поскольку $s_{2n}\to S$ при $n\to\infty$ как последовательность сумм для сходящегося сгруппированного ряда, то переходя к пределу при $n\to\infty$, получаем сходимость последовательности частичных сумм для исходного ряда, так ?

[svv]

Да. «Нечётные» частичные суммы «зажаты» между соседними «чётными», и потому не мешают сходимости.

На самом деле, хватило бы даже того, что разность между «нечётной» и предыдущей «чётной» стремится к нулю:
$\lim\limits_{k\to\infty}(s_{2k+1}-s_{2k})=0$
Ведь в скобках — стремящийся к нулю член ряда.

-- Вт мар 21, 2017 18:12:13 --

loser228 в сообщении #1202473 писал(а):

для любого $n$ верно $s_{2n-2}\leqslant s_{2n-1}\leqslant s_{2n}$

Небольшое замечание. В зависимости от $n$ то так, как Вы написали, то все знаки меняются на $\geqslant$.

Попробуйте перечитать всё, что писал mihailm, я думаю, теперь будут понятны все его намёки.

[loser228]

svv,
А в общем случае, если, скажем, группировать ряд произвольным числом слагаемых, то есть например $(a_1+a_2+a_3+...+a_{n_1}) + (a_{n_1+1}+a_{n_1+2}+...+a_{n_2})+...+(a_{n_{k-1}+1}+a_{n_{k-1}+2}+a_{n_{k-1}+3}+...+a_{n_{k}})$
,если знак в каждой скобке у всех слагаемых один и тот же, и сгруппированный ряд сойдется, то и исходный ряд тоже будет будет сходящимся ? ведь суммы с номерами $n_k$ сходятся при $k\to\infty$ , а с остальными номерами будут заключены между $s_{n_{k-1}} и s_{n_k}$ , и переходя к пределу при $k\to\infty$ получим сходимость других частичных сумм, так?

[Someone]

loser228 в сообщении #1202487 писал(а):

если знак в каждой скобке у всех слагаемых один и тот же, и сгруппированный ряд сойдется, то и исходный ряд тоже будет будет сходящимся ?

Именно так.

Теорема (о скобках). Если некоторый ряд сходится, то ряд, полученный из него группировкой членов, тоже сходится, причём, к той же сумме. Наоборот, если сгруппированный ряд сходится, и в каждой группе все члены имеют одинаковые знаки, то и исходный ряд сходится.