Задача из теории вероятностей

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Решаю задачу 2-мя способами. В корзине лежат 7 черных и 3 белых шара. Случайным образом вынимают без возвращения один шар, затем второй. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечен белый шар.
Способ 1:
Обозначим вероятности вытащить белый и черный шар соответственно: $p(W), p(B) $. Тогда вероятность вытащить первый раз белый шар $p(W)=\frac{3}{10}$ , а черный: $ p(B)= \frac{7}{10} $. Вероятность вытащить белый шар во второй раз:
- при условии, что в первый раз был извлечен белый шар: $p(W/W)=\frac{2}{9}$,
- при условии, что в первый раз был извлечен черный шар: $p(W/B)=\frac{3}{9}$.
Тогда вероятность того, что во второй раз будет извлечен белый шар: $p(W)=p(W)p(W/W) + p(B)p(W/B) = \frac{3}{10} \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \frac{3}{9} = \frac{3}{10}$. Все ли верно?

Способ 2: (комбинаторный): с этим проблема, но не теряю надежды:
Количество способов выбрать сначала черный шар, а затем белый $7 \cdot 3$ . Количество способов выбрать два белых шара из всех десяти: $C_{10}^2$. Попытка найти вероятность выбора белого при втором изъятии: $p(W)=\frac{7 \cdot 3}{C_{10}^2} + \frac{C_{3}^2}{C_{10}^2} = \frac{24}{45}$. Не сходится. Подскажите, где ошибка?

[ewert]

Stensen в сообщении #1200356 писал(а):

Не сходится. Подскажите, где ошибка?

А как оно может сойтись, если у Вас во втором способе полная мешанина из учётов и неучётов порядка следования шаров.

Между прочим, есть ещё и третий способ: "очевидно, что $\frac3{10}$".

[Stensen]

ewert в сообщении #1200362 писал(а):

Stensen в сообщении #1200356 писал(а):

Не сходится. Подскажите, где ошибка?

А как оно может сойтись, если у Вас во втором способе полная мешанина из учётов и неучётов порядка следования шаров.

Количество способов выбрать:
- сначала черный шар, а затем белый $ C_{7}^1 $C_{3}^1 = 7 \cdot 3$ ,
- два белых шара: $C_{3}^2$ ,
- два любых шара из десяти: $C_{10}^2$ .

Вероятность выбора:
- белого шара при втором изъятии: $p(BW)=\frac{7 \cdot 3}{C_{10}^2} $ ,
- два белых шара: $p(WW)=\frac{C_3^2}{C_{10}^2} $ .
До сих пор все ли верно?

ewert в сообщении #1200362 писал(а):

Между прочим, есть ещё и третий способ: "очевидно, что $\frac3{10}$".

Попутно пришла в голову мысль: если "очевидно, это $\frac{3}{10}$", то "неочевидно, это $\frac{7}{10}$". Забавно .

[Someone]

Stensen в сообщении #1200692 писал(а):

До сих пор все ли верно?

Нет. У Вас ведь спрашивают вероятность того, что второй вынутый шар будет белым. А Вы считаете неупорядоченные выборки. Это как-то нехорошо.

[Stensen]

Someone в сообщении #1200735 писал(а):

У Вас ведь спрашивают вероятность того, что второй вынутый шар будет белым. А Вы считаете неупорядоченные выборки. Это как-то нехорошо.

Количество способов выбрать:
- сначала черный шар, а затем белый $ = 7 \cdot 3$ ,
- два белых шара $ = 3 \cdot 2 $ ,
- два любых шара из десяти с учетом порядка (размещения): $A_{10}^2 = 90$ .
Поскольку эти события несовместны, то количество способов вытащить белый шар во втором изъятии суммируются: $p =\frac{7 \cdot 3 + 3 \cdot 2}{A_{10}^2} = \frac{3}{10}$ ,

Все ли теперь верно?

[Someone]

Теперь верно.

[Stensen]

Спасибо всем.

[ewert]

(Оффтоп)

Stensen в сообщении #1200692 писал(а):

пришла в голову мысль: если "очевидно, это $\frac{3}{10}$", то "неочевидно, это $\frac{7}{10}$". Забавно .

Забавно лишь как игра слов. Но логически она (мысля и игра) неверна. Из очевидности утверждения может следовать лишь очевидная неверность утверждения, ему не соответствующего. А вовсе не его неочевидность.

Вы всё же прикиньте, почему 3/10 должно быть воистину очевидно заранее, до всякого счёта. Да, эту "очевидность" не так просто формализовать. Но зато она чётко указывает, на что надо нацеливаться.