Сумма попарных произведений восьми последовательных целых

[Ktina]

Докажите, что сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой.

[gris]

Где у нас обычно прячется сумма попарных произведений? Нет, не там, а в квадрате суммы.

[Ktina]

gris
Лишнее
Эту задачу вполне можно и в 5 классе давить давать.

[gris]

А я вот никак не соображу простого решения С квадратом-то понятно, а вот для пятиклашек как?

[gris]

Я бы по некоторому модулю проверил. Но без формулы складывать 28 произведений... А по формуле устно.

[Ktina]

gris в сообщении #1197229 писал(а):

А я вот никак не соображу простого решения С квадратом-то понятно, а вот для пятиклашек как?

По арифмосту, разумеется. Раз чихнуть.

-- 05.03.2017, 01:02 --

Там остатки на 4 будут 01230123, мумма их попарных произдевений даёт остаток 2 при делении на 4.

[gris]

Ну это ясно, что по остаткам. Но как сложить-то?
А если берётся сумма с учётом порядка сомножителей? То есть, удвоенная? Почему бы ей не быть квадратом?

[Sinoid]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1197239 писал(а):

По арифмосту, разумеется. Раз чихнуть.

Что-то не припомню этого слова, да еще в пятом классе. Это, что, наподобие арифметики в $\mathbb{Z}_{n}$?

[gris]

Мне не понравилось решение ТС . Да, такое бывает по весне. Идея-то понятна: если нечто делится на простое число, но не делится на его квадрат, то это нечто не может быть степенью натурального числа с целым показателем, большим единицы. Уф. Не выговоришь. Последнее время эта категория встречается в Ktina's задачах. Есть термин "perfect power", но русскоязычно тоже язык сломаешь. А ведь степень с простым показателем и есть перфектная степень В этом есть даже ленинская НГВР: то, что у них совершенно, то у нас просто. Простая степень.
А, по теме. Мы изначально не знаем, какое число выбрать в качестве арифметического моста к решению. Может быть, это три. И пятиклассник должен догадаться, а потом ещё нудно складывать пятнадцать попарок? Да ошибётся наверняка. А если мы выпишем алгебраическое выражение, то чётко всё увидим: Не может сумма попарных произведений восьми последовательных натуральных чисел быть простой степенью.

В условии числа целые, но это не меняет сути дела.

[Ktina]

Sinoid
Арифмост - это арифметика остатков.

[Yadryara]

Ktina в сообщении #1197212 писал(а):

сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой.

А чему вообще равна сумма попарных произведений $n$ последовательных целых чисел, начиная с $x$ ?

Квадратному полиному $ax^2 + bx + c$, где

$a=\frac{n(n-1)}2$

$b=\frac{n(n-1)^2}2$

$c=\frac{n(n-1)(3n-1)(n-2)}{24}$

В нашем случае, при $n=8$, имеем, как справедливо заметил gris, сумму $28$ попарных произведений и полином

$28x^2 + 196x + 322$

Да, сразу видно, что для всех целых $x$ его значения дают остаток $2$ при делении на $4$.

А при каких ещё $n$ так получается? Если $n=9$, сумма попарных произведений 9-и последовательных целых чисел равна

$36x^2 + 288x + 546$

Здесь тоже получается остаток $2$ при делении на $4$ для всех целых $x$.

Можно видеть, что для всех натуральных $m$ сумма попарных произведений $n=\frac{32m-15\pm1}2$ последовательных целых чисел даёт остаток $2$ при делении на $4$ и не может равняться никакой степени целого числа выше первой.