сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой.
А чему вообще равна сумма попарных произведений

последовательных целых чисел, начиная с

?
Квадратному полиному

, где



В нашем случае, при

, имеем, как справедливо заметил
gris, сумму

попарных произведений и полином

Да, сразу видно, что для всех целых

его значения дают остаток

при делении на

.
А при каких ещё

так получается? Если

, сумма попарных произведений 9-и последовательных целых чисел равна

Здесь тоже получается остаток

при делении на

для всех целых

.
Можно видеть, что для всех натуральных

сумма попарных произведений

последовательных целых чисел даёт остаток

при делении на

и не может равняться никакой степени целого числа выше первой.