2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение04.03.2017, 23:52 
Аватара пользователя


01/12/11
5989
Докажите, что сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
Где у нас обычно прячется сумма попарных произведений? Нет, не там, а в квадрате суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:10 
Аватара пользователя


01/12/11
5989
gris
Лишнее :wink:
Эту задачу вполне можно и в 5 классе давить давать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
А я вот никак не соображу простого решения :-( С квадратом-то понятно, а вот для пятиклашек как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
Я бы по некоторому :-) модулю проверил. Но без формулы складывать 28 произведений... А по формуле устно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 01:00 
Аватара пользователя


01/12/11
5989
gris в сообщении #1197229 писал(а):
А я вот никак не соображу простого решения :-( С квадратом-то понятно, а вот для пятиклашек как?

По арифмосту, разумеется. Раз чихнуть.

-- 05.03.2017, 01:02 --

Там остатки на 4 будут 01230123, мумма их попарных произдевений даёт остаток 2 при делении на 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
Ну это ясно, что по остаткам. Но как сложить-то?
А если берётся сумма с учётом порядка сомножителей? То есть, удвоенная? Почему бы ей не быть квадратом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 13:18 


03/06/12
1571

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1197239 писал(а):
По арифмосту, разумеется. Раз чихнуть.


Что-то не припомню этого слова, да еще в пятом классе. Это, что, наподобие арифметики в $\mathbb{Z}_{n}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение05.03.2017, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
Мне не понравилось решение ТС :-( . Да, такое бывает по весне. Идея-то понятна: если нечто делится на простое число, но не делится на его квадрат, то это нечто не может быть степенью натурального числа с целым показателем, большим единицы. Уф. Не выговоришь. Последнее время эта категория встречается в Ktina's задачах. Есть термин "perfect power", но русскоязычно тоже язык сломаешь. А ведь степень с простым показателем и есть перфектная степень :!: В этом есть даже ленинская НГВР: то, что у них совершенно, то у нас просто. Простая степень.
А, по теме. Мы изначально не знаем, какое число выбрать в качестве арифметического моста к решению. Может быть, это три. И пятиклассник должен догадаться, а потом ещё нудно складывать пятнадцать попарок? Да ошибётся наверняка. А если мы выпишем алгебраическое выражение, то чётко всё увидим: Не может сумма попарных произведений восьми последовательных натуральных чисел быть простой степенью.

В условии числа целые, но это не меняет сути дела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение06.03.2017, 01:48 
Аватара пользователя


01/12/11
5989
Sinoid
Арифмост - это арифметика остатков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма попарных произведений восьми последовательных целых
Сообщение07.03.2017, 04:30 
Аватара пользователя


29/04/13
2959
Ktina в сообщении #1197212 писал(а):
сумма попарных произведений восьми последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа выше первой.

А чему вообще равна сумма попарных произведений $n$ последовательных целых чисел, начиная с $x$ ?

Квадратному полиному $ax^2 + bx + c$, где

$a=\frac{n(n-1)}2$

$b=\frac{n(n-1)^2}2$

$c=\frac{n(n-1)(3n-1)(n-2)}{24}$

В нашем случае, при $n=8$, имеем, как справедливо заметил gris, сумму $28$ попарных произведений и полином

$28x^2 + 196x + 322$

Да, сразу видно, что для всех целых $x$ его значения дают остаток $2$ при делении на $4$.

А при каких ещё $n$ так получается? Если $n=9$, сумма попарных произведений 9-и последовательных целых чисел равна

$36x^2 + 288x + 546$

Здесь тоже получается остаток $2$ при делении на $4$ для всех целых $x$.

Можно видеть, что для всех натуральных $m$ сумма попарных произведений $n=\frac{32m-15\pm1}2$ последовательных целых чисел даёт остаток $2$ при делении на $4$ и не может равняться никакой степени целого числа выше первой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group