2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Усиление одного известного неравенства
Сообщение04.03.2017, 18:07 
Заслуженный участник


26/06/07
1758
shevah school, tel-aviv
Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа, для которых $\prod\limits_{cyc}(2a^2+(b+c)^2)\neq0$. Докажите, что
$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \le 8$$
На USAMO 2003 (Problem 5) то же неравенство надо было доказать для неотрицательных переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение04.03.2017, 19:21 


30/03/08
165
St.Peterburg
arqady в сообщении #1197135 писал(а):
Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа, для которых $\prod\limits_{cyc}(2a^2+(b+c)^2)\neq0$. Докажите, что
$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \le 8$$
На USAMO 2003 (Problem 5) то же неравенство надо было доказать для неотрицательных переменных.


1. $a+b+c =0 \rightarrow \  1 <8$

2. если $a+b+c \ne 0$ , тогда положим $a+b+c=1$

$f(x)= \dfrac{(1+x)^2}{3x^2-2x+1} \le 3$
$$f(a)+f(b)+f(c) \le 8 \ , \ a+b+c=1$$

a. $ f(x)  \le 1$ при $x \le 0 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c) \le 7$ при $a \le 0$


b. $f(x)= \dfrac{(1+x)^2}{3x^2-2x+1} \le 4x+\dfrac{4}{3}$ при $x >0 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c)  \le 4(a+b+c )+4=8$ при $a,b,c \ge 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение04.03.2017, 20:19 


25/08/11
1060
в самом начале получается 3х3=9 <8 - почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение04.03.2017, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3781
sergei1961 в сообщении #1197164 писал(а):
в самом начале получается 3х3=9 <8 - почему?
В "самом начале" получается:
Sergic Primazon в сообщении #1197146 писал(а):
1. $a+b+c =0 \rightarrow \  1 <8$
А в начале самого конца приведена оценка функции, которая используется в выводе. Или Вы о чём?

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение04.03.2017, 22:16 
Заслуженный участник


26/06/07
1758
shevah school, tel-aviv
Sergic Primazon, отличное доказательтво!
В моём доказательстве я использовал uvw и оно гораздо тяжелее Вашего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение05.03.2017, 08:59 


25/08/11
1060
Если функция меньше 3, то почему три функции меньше 8, а не 9?

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение05.03.2017, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3781
sergei1961 в сообщении #1197272 писал(а):
Если функция меньше 3, то почему три функции меньше 8, а не 9?
Позвольте ещё раз уточнить, какой именно пункт Вам непонятен: 1, 2а или 2б. Или Вам неясно, как сумма этих пунктов даёт решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение05.03.2017, 12:08 


25/08/11
1060
Непонятно: пункт 2 до а. Функция меньше 3. Почему сумма трёх значений этой функции меньше 8, а не 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление одного известного неравенства
Сообщение05.03.2017, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3781
В пункте 2а рассматривается случай, когда хотя бы одно из чисел отрицательно. Скажем, $a$. Тогда указанная функция в т. $a$ принимает значение не большее чем 1. Затем суммируем $1+3+3 =7$.
Sergic Primazon в сообщении #1197146 писал(а):
$ f(x)  \le 1$ при $x \le 0 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c) \le 7$ при $a \le 0$


-- 05.03.2017, 12:28 --

Ага, я кажется понял. Вы об этом?
Sergic Primazon в сообщении #1197146 писал(а):
$$f(a)+f(b)+f(c) \le 8 \ , \ a+b+c=1$$
Это просто переформулировка условия в новых терминах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group