Качение шара по плоскости

[statistonline]

Доброго дня!

Имеется недеформируемый шар радиусом $R$, который может катиться без проскальзывания по плоскости $\alpha$ . На поверхности шара есть выделенная точка. Для определенности будем полагать, что эта точка находится на расстоянии $2R$ от плоскости. Вопрос в том, может ли эта точка коснуться плоскости в любой наперед заданной её точке (допустим, это точка Б)? И если может, то какова кратчайшая траектория проекции центра шара на плоскость до момента касания?

Насколько я понимаю, вопрос о том, достижима ли любая точка плоскости решается положительно. За два перемещения мы сможем достигнуть любой точки в радиусе $3\pi$ от первоначального положения точки касания шара. Вот для примера путь достижения точки Б:


А как быть с теми точками, что находятся на расстоянии от первоначальной точки касания дальше, чем $3\pi$? Я понимаю, что переместив шар в новую точку касания, мы тем самым сдвигаем и эту"окружность двукратного перемещения". Но вот со строгим соображениями не могу пока понять.
И, кроме того, не знаю, что именно делать с кратчайшей траекторией. Понятно, что ломаные наверное могут замениться на некие кривые. Но как тут подступиться - не понимаю.

[ИСН]

statistonline в сообщении #1196445 писал(а):

Для определенности будем полагать, что эта точка находится на расстоянии $2R$ от плоскости.

Лучше полагайте, что эта точка находится прямо на плоскости, т.е. шар на ней стоит. Так, по крайней мере, разные траектории можно будет конкатенировать, если вдруг нам захочется.

[wrest]

statistonline
А "без проскальзывания" означает что на месте повернуться шар не может? Если может и шар стоит на точке, то кратчайшая траектория -- прямая если расстояние больше длины (или около того) окружности.

Если на месте поворачиваться нельзя, то:
Если шар стоит на выделенной точке и касается точки А, то по крайней мере одна траектория к любой точке Б есть всегда.
Отъезжаем перпендикулярно направлению АБ на четверть окружности, затем двигаемся параллельно направлению АБ, в сторону Б на расстояние АБ, затем опять перпендикулярно АБ на четверть окружности в сторону Б, и попадаем выделенной точкой точно в Б. Так что, траектория есть всегда и в том случае если шар не стоит на выделенной точке -- тогда мы просто катим его так чтобы он стал на выделенную точку (как это сделать - очевидно), называем точку касания "А" и выполняем вышеприведенный алгоритм.

[bot]

Как бы так подсказать, чтоб не получить втык за полное решение? Пусть выделенная точка при соприкосновении с плоскостью красит точку касания. В начале, как велел ИСН, пусть выделенная точка шара покрасила точку О. Ещё хотя бы одну точку покрасить можем? Без проблем, красим какую попало, но запоминаем маршрут. Замеряем расстояние до цен (прикусил язык) точки О. Какие ещё точки, исходя из точки О, можно покрасить, если подвернуть маршрут? Ну, целая замкнутая линия получится, не скажу, как её зовут. Она ограничивает некую область. Опять, плясуя танцуя от линии можем мы покрасить любую точку области? Получилось?
Ну а плоскость этими областями очевидно покрывается.
А ещё лучше прокатиться по боковым сторонам равнобедренного треугольника.

[wrest]

statistonline
И еще, если позволите, вопрос по условиям.
Если шар двигается без проскальзывания, как вообще траектория проекции центра может быть (гладкой) кривой?

[ИСН]

Ну как, как. Вот стоит шар. В какую сторону он может покатиться? Да в любую. А в следующий момент? Опять в любую, хотя бы и другую. Вот это он и делает.

[wrest]

(О проскальзывании)

ИСН в сообщении #1196486 писал(а):

Да в любую. А в следующий момент? Опять в любую, хотя бы и другую. Вот это он и делает.

Допустим, плоскость покрашена и шар как-то катится по ней, тогда на шаре останется след -- какая-то непрерывная линия. Вот там где линия не является прямой (т.е. не является дугой большой окружности) -- не ли проскальзывания? Если центр шара не двигается относительно плоскости, но шар вращается вокруг оси проходящей через центр шара перпендикулярно к плоскости, нет ли проскальзывания? Вот, скажем, колесо (круговой цилиндр с осью, параллельной плоскости) без проскальзывания может ездить только взад-вперед (перпендикулярно оси), поворачивать не может. Теперь делаем колесо бесконечно тонким (плоским кругом), если оно поворачивает на месте -- оно проскальзывает?

[ИСН]

(Оффтоп)

Если центр шара не двигается, но шар как-то вращается, то конечно же, проскальзывание есть. Только у нас такого не бывает. Про бесконечно тонкое колесо мне думать не хочется. Посмотрите ещё раз на шар: он может ездить хотя бы по прямой без проскальзывания? Вроде бы очевидно, что да; если обычное колесо может, то он-то чем хуже. Ну а может он потом остановиться, подумать, и поехать по другой прямой?
Upd. Всё-таки подумал про бесконечно тонкое колесо. Чтобы поехать в другом направлении, оно должно тупо повернуться всем телом, стоя на одной точке, иначе оно туда ехать не может, а может только туда, куда раньше ехало. Шар не такой. Он с любой точки может ехать в любую сторону. Ему пофиг.

[bot]

wrest в сообщении #1196493 писал(а):

Если центр шара не двигается относительно плоскости, но шар вращается вокруг оси проходящей через центр шара перпендикулярно к плоскости, нет ли проскальзывания?

При вращении шара вокруг некоторой оси точки оси хотели бы вращаться вместе со всеми точками, но у них это не получается.

[TOTAL]

Нарисуем на шаре окружность и проедим этой окружностью по плоскости. Если ехали без проскальзывания, то на плоскости тоже получится окружность (только большего диаметра) .

[Aritaborian]

А задача не сводится к задаче про циркуль с фиксированным раствором? Или тут интереснее случай?

[wrest]

TOTAL в сообщении #1196501 писал(а):

Нарисуем на шаре окружность и проедим этой окружностью по плоскости. Если ехали без проскальзывания, то на плоскости тоже получится окружность (только большего диаметра) .

Но той же длины, ибо если длины на шаре и плоскости не совпадут значит было проскальзывание, так ведь?

[statistonline]

bot в сообщении #1196464 писал(а):

Как бы так подсказать, чтоб не получить втык за полное решение? Пусть выделенная точка при соприкосновении с плоскостью красит точку касания. В начале, как велел ИСН, пусть выделенная точка шара покрасила точку О. Ещё хотя бы одну точку покрасить можем? Без проблем, красим какую попало, но запоминаем маршрут. Замеряем расстояние до цен (прикусил язык) точки О. Какие ещё точки, исходя из точки О, можно покрасить, если подвернуть маршрут? Ну, целая замкнутая линия получится, не скажу, как её зовут. Она ограничивает некую область. Опять, плясуя танцуя от линии можем мы покрасить любую точку области? Получилось?
Ну а плоскость этими областями очевидно покрывается.
А ещё лучше прокатиться по боковым сторонам равнобедренного треугольника.

1.Простите, я не совсем понял термин "подвернуть маршрут".
2. У нас последовательно образуется цепочка покрашенных нашей точкой точек на плоскости. Мы же можем провести через цепочку этих покрашенных точек много разных кривых. Или нет?

[bot]

statistonline в сообщении #1196514 писал(а):

я не совсем понял термин "подвернуть маршрут"

Буква д не во-время подвернулась.

[Someone]

wrest в сообщении #1196511 писал(а):

TOTAL в сообщении #1196501 писал(а):

Нарисуем на шаре окружность и проедим этой окружностью по плоскости. Если ехали без проскальзывания, то на плоскости тоже получится окружность (только большего диаметра) .

Но той же длины, ибо если длины на шаре и плоскости не совпадут значит было проскальзывание, так ведь?

Большего диаметра, но той же длины?