Задача про числа из ЕГЭ

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Решаю задачи:
1. Известно, что $a, \, b, \, c, \, d$ — попарно различные двузначные числа. Может ли дробь: $\frac{a+c}{b+d}$ быть в $11 $ раз больше, чем сумма: $ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ ?
Решение автора:
Проверим, можно ли найти такие двухзначные $a, \, b, \, c, \, d$ чтобы выполнялось равенство: $\frac{a+c}{b+d} = \frac{11 a}{b}+ \frac{11c}{d}$ или в виде: $\frac{a+c}{b+d} = \frac{11(ad+bc)}{bd}$ , получаем систему:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a+c=11(ad+bc) \\ b+d=bd \\ \end{array} \right.$$

Из 2-го уравнения видно, что не существует двухзначных чисел $b, \, d$ таких, чтобы их сумма и произведение были равны. Следовательно, обеспечить равенство невозможно. На этом объяснение заканчивается.
Мне не понятно почему из последней пропорции следует равенство числителей и знаменателей дробей этой пропорции? Ведь может быть и так: для $\forall k \in \mathbb{Z}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} k (a+c) =11(ad+bc) \\ k (b+d) =bd \\ \end{array} \right.$$

и решение отнюдь не очевидно. Или я ошибаюсь?

2. Известно, что $a, \, b, \, c, \, d$ — попарно различные двузначные числа. Может ли дробь: $\frac{3a+2c}{b+d}$ быть в $11 $ раз меньше, чем сумма: $ \frac{3a}{b}+\frac{2c}{d} $ ?
Решение автора:
Предположим, что: $11 \frac{3a+2c}{b+d} = \frac{3a}{b}+\frac{2c}{d}$, тогда: $3ad(10b-d) = 2bc(b-10d) $.

Рассмотрев самый неблагоприятный вариант - слева: $b=10, \, d=99$, справа наоборот получим: $10b-d > 10 \cdot 10 - 99 > 0 > 99-10 \cdot 10 > b -10d$, т.е. числа справа и слева имеют разные знаки и не могут быть равны. Автор делает вывод, что это приводит к противоречию с тем, что: $3ad(10b-d) = 2bc(b-10d) $.
Но не понимаю, почему $a, \, c$ не могут быть разных знаков, в условии задачи это не запрещено. Почему это приводит к противоречию?

[Sinoid]

Stensen в сообщении #1196475 писал(а):

Ведь может быть и так: для $\forall k \in \mathbb{Z}$

По-моему, здесь перепутан квантор.

[Stensen]

Sinoid в сообщении #1196483 писал(а):

Stensen в сообщении #1196475 писал(а):

Ведь может быть и так: для $\forall k \in \mathbb{Z}$

По-моему, здесь перепутан квантор.

Согласен: $\exists k \in \mathbb{Z}$

[TOTAL]

Stensen в сообщении #1196475 писал(а):

Доброго всем времени суток. Решаю задачи:
1. Известно, что $a, \, b, \, c, \, d$ — попарно различные двузначные числа. Может ли дробь: $\frac{a+c}{b+d}$ быть в $11 $ раз больше, чем сумма: $ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ ?

Эти двузначные числа могут быть отрицательными?

дробь $\frac{80+30}{20-10}$ в $11 $ раз больше, чем сумма $ \frac{80}{20}+\frac{30}{-10}$

[Someone]

Если $a$, $b$, $c$, $d$ положительные, то легко убедиться, что $\frac{a+c}{b+d}<\frac ab+\frac cd$.

[Stensen]

Someone в сообщении #1196500 писал(а):

Если $a$, $b$, $c$, $d$ положительные, то легко убедиться, что $\frac{a+c}{b+d}<\frac ab+\frac cd$.

В условии про положительность ничего не сказано, поэтому я и задал вопрос.

[Someone]

Stensen в сообщении #1196508 писал(а):

В условии про положительность ничего не сказано

Ну да. Но я же никакой претензии Вам не высказывал, я уже увидел пример TOTAL, когда писал.

Претензию можно предъявить автору задачи. Его решение, как Вы заметили, неверно, TOTAL указал пример с одним отрицательным числом, для которого требуемое равенство выполняется, а я добавил, что для положительных чисел задача решается тривиально (нужно просто упростить выражение $\frac ab+\frac cd-\frac{a+c}{b+d}$, приведя дроби к общему знаменателю).

[Stensen]

Это задача из ЕГЭ. Хотел получить комментарии специалистов. Думал, может чего не понимаю. Оказалось, действительно некорректное условие.
Как школьники то решать будут?
Всем спасибо.