Нахождение потока векторного поля пирамиды

[XpucToc]

Всем доброго утра. Имеется одно задание, с которым мучаюсь уже пятый день, исписал 11 (кроме шуток) листов А4, чувствую, что сам не справлюсь. Алгоритм решения в общих чертах понимаю, путаюсь в процессе решения, на всякий случай умозаключения тоже опишу (может, в них ошибка). Задание: вычислить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского-Гаусса. Пирамида образована некой плоскостью и координатными плоскостями. Сама плоскость: $-x+2y+2z-4=0$, векторное поле:$ (x+z)\overline{j}$.

Собственно, задания тут 2: 1. Найти $\prod$ методом Остроградского и (2) "вручную". Просьба не язвить над ошибками, кроме форума и сухих книг подсказать мне некому.

1. Начал с Остроградского-Гаусса:
$\underset{S}{\iint} Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\underset{G}{\iiint}(\triangledown F)dV=\underset{G}{\iiint}\left ( \frac{\partial d(0)}{\partial x}+\frac{\partial (x+z)}{\partial y} + \frac{\partial (0)}{\partial z}\right ) = 0$
Сразу вопрос #1: это верное решение? Значит, если искать поток непосредственно, то его составляющие либо будут равны нулю, либо будут компенсировать друг друга (ну или и то, и другое)?

2. Ищу непосредственно:
Суммарный поток равен сумме потоков, проходящих через каждую сторону пирамиды:

$\prod _{OABC}=\prod _{AOB}+\prod _{AOC}+\prod _{BOC}+\prod _{ABC}$

Сначала найдём поток через сторону AOB. Учитывая, что $\overline{n}_{AOB}=(0,0,-1)$, получим: $\iint_{\sigma }(\overline{F}\overline{n}_{AOB})d\sigma =\iint_{\sigma }(0\cdot 0+0(x+z)+(-1)\cdot 0)d\sigma =0$

Найдём поток через сторону BOC: учитывая, что $\overline{n}_{BOC}=(1,0,0)$, получим: $\iint_{\sigma }(\overline{F}\overline{n}_{BOC})d\sigma =\iint_{\sigma }(0\cdot 1+0(x+z)+0\cdot 0)d\sigma =0$

Далее - поток через AOC: учитывая, что $\overline{n}_{BOC}=(0,-1,0)$, получаем: $\iint_{\sigma }(\overline{F}\overline{n}_{AOC})d\sigma =\iint_{\sigma }(0\cdot 0+(-1)(x+z)+0\cdot 0)=-\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma $
Вопрос 2: это верно?

Поток через сторону ABC самый сложный: $\overline{n}_{AOB}=(-\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3},\frac{2}{3}), \iint_{\sigma }(\overline{F}\overline{n}_{ABC})d\sigma =\iint_{\sigma }(0\cdot 0+(\frac{2}{3})(x+z)+0\cdot 0)d\sigma =\frac{2}{3}\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma $
Вопрос 3: это тоже верно?

Собственно, я понимаю, что дальше надо вычислять эти два поверхностных интеграла, но начинается жуткая путаница с самим интегрированием. Пытаюсь свести к двойному и не понимаю, как именно заменить $f(x,y,z)$ на $f(x(y,z),y,z)$ (в прямом смысле слова не понимаю, смотрю в книгу, вижу фигу), пытаюсь свести его к поверхностному 2-го рода (около 5 листов занимался только этим) и путаюсь окончательно. Попытки решения могу выложить, если надо.

Где у меня ошибка? С какого именно момента я начинаю топтаться на одном месте? Буду очень благодарен тому, кто понятными (и, желательно, не язвительными) словами объяснит, где у меня начинаются ошибки, и было бы ещё лучше, если бы кто-нибудь подсказал первые шаги по взятию получившихся интегралов.

Чуть не забыл - график и его проекции с вычисленными уравнениями прямых (для определения пределов интегрирования):


Заранее большое спасибо.

[EUgeneUS]

А $\frac{2}{3}$ - это, надо полагать косинус угла между плоскостями $AOC$ и $ABC$?

Рассмотрите элементарную площадку на $ABC$, рассмотрите её проекцию на $AOC$ и... случится чудо.

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196205 писал(а):

А $\frac{2}{3}$ - это, надо полагать косинус угла между плоскостями $AOC$ и $ABC$?

И по совместительству это вторая координата нормали этой плоскости.

EUgeneUS в сообщении #1196205 писал(а):

Рассмотрите элементарную площадку на $ABC$, рассмотрите её проекцию на $AOC$ и... случится чудо.

То есть $AOC $ будет проекцией $ABC$ и поток будет равен: $-\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma+\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma = 0$?

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196207 писал(а):

То есть $AOC $ будет проекцией $ABC$ и поток будет равен: $-\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma+\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma = 0$?

Не совсем так. $ABC$, это, конечно, проекция $AOC$, но по всей площади значение подынтегральной функции меняется. А на элементарной площадке - не меняется.
Считая оба интеграла, Вам нужно "пробегать" в обоих те же самые значения $(x,z)$, и если Вы это сделаете аккуратно и правильно напишите $d\sigma$ во втором интеграле, вот тогда случится чудо.

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196216 писал(а):

Считая оба интеграла

С этим есть проблемы :)

EUgeneUS в сообщении #1196216 писал(а):

аккуратно и правильно напишите $d\sigma$ во втором интеграле, вот тогда случится чудо.

Расписывал, взгляните:
$d\sigma=\frac{1}{\cos\gamma }dS_{XY}=\sqrt{1+ \left ({z_{x}}' \right )^{2} + \left ({z_{y}}' \right )^{2}}dS_{XY}=\frac{3}{2}dxdy$
Оно?

-- 01.03.2017, 15:17 --

Кстати, мне кажется, или площадь плоскости $ABC $ равна удвоенной площади плоскости $AOC$? Из этого можно что-нибудь выжать?

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196219 писал(а):

Оно?

Строгость выкладок и их оформление не проверял. Но идея такая, да. Когда Вы считаете скалярное произведение, сверху будет косинус, когда считаете площадь элементарной площадки будет косинус такого же угла, но снизу.

XpucToc в сообщении #1196219 писал(а):

Кстати, мне кажется, или площадь плоскости $ABC $ равна удвоенной площади плоскости $AOC$?

Я не знаю, как считать площадь плоскости. Если речь о треугольниках, то, если площадь каждой элементарной площадки больше площади соответствующей другой в полтора раза, то и общая площадь должна быть больше в полтора раза, не находите?

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196227 писал(а):

если площадь каждой элементарной площадки больше площади соответствующей другой в полтора раза, то и общая площадь должна быть больше в полтора раза, не находите?

И правда :) Логика в данном случае не работает.

Значит, я выражаю $ z=\frac{1}{2}(x-2y+4)$ и подставляю его в $(x+z)$ и поулчаю следующий интеграл:

$\underset{AOB}{\iint }\frac{3}{2}\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2}(x-2y+4))dxdy=\underset{AOB}{\iint}(\frac{3}{2}x-2y+4)dxdy$

Теперь пределы интегрирования. $AOB $ ограничена сверху прямой $y=\frac{1}{2}x+2$, а снизу $y=-\frac{1}{2}x-2$, слева $-4$, справа $0$. Это верно?

[XpucToc]

Ничего хорошего из этого интеграла не получается :(

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196257 писал(а):

Ничего хорошего из этого интеграла не получается :(

А что Вы хотите получить? Какую-то цифру? А зачем она Вам нужна?
Вот Вы сейчас меня спровоцировали на очередное мне предупреждение. Наверное.

1. Рассматриваем треугольник $AOB$. Там все просто. $y=0$, векторное поле попендикулярно поверхности.
2. Так как $y=0$, то $d\sigma=dxdz$.
3. Записываете область интегрирования в координатах $x$ и $z$.
4. Рассматриваем треугольник $ABC$.
5. В скалярном произведении вылазит две вторых. Нуок.
6. Записываем область интегрирования в координатах $x$ и $z$. И о чудо! Она такая же, как в п.3.
7. Записываем $d\sigma$ в координатах $x$ и $z$. И о чудо! Вылезает три вторых, которые волшебным образом сокращаются с двумя третьими.
8. Имеем. Два интеграла по той же самой области, от той же самой функции, но с разными знаками. И опять чудо - в сумме они дают ноль.

ЗЫ. Осталось это строго записать и сдать задачу. Это оставляю Вам.

[Otta]

Единственное, что осталось загадочным во всей этой истории, - зачем вообще нужно было сводить интегралы второго рода к интегралам первого, когда гораздо проще и естественней было переходить сразу к кратным.

(Оффтоп)

Нет, учебник я пересказывать не буду, если что. Про то, как это делается, есть везде.

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196270 писал(а):

А что Вы хотите получить? Какую-то цифру? А зачем она Вам нужна?

Первая реакция здорового человека при виде интеграла - убежать от него с криками попытаться его взять :)

EUgeneUS в сообщении #1196270 писал(а):

А что Вы хотите получить? Какую-то цифру? А зачем она Вам нужна?

Ну вот смотрите. В AOC я получил это: $\iint_{\sigma }(\overline{F}\overline{n}_{AOC})d\sigma =\iint_{\sigma }(0\cdot 0+(-1)(x+z)+0\cdot 0)=-\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma $, а в ABC подынтегральная функция совершенно другая. Стоп, а другая она, потому что я выразил $z$ и заменил. Этого не надо было делать?

EUgeneUS в сообщении #1196270 писал(а):

6. Записываем область интегрирования в координатах $x$ и $z$. И о чудо! Она такая же, как в п.3.

Странно, я думал, что одинаковы они только у $AOB$ и $AOC$ :) То есть тут две пары интегралов с одинаковыми пределами интегрирования?

EUgeneUS в сообщении #1196270 писал(а):

7. Записываем $d\sigma$ в координатах $x$ и $z$. И о чудо! Вылезает три вторых, которые волшебным образом сокращаются с двумя третьими.

Т. е. как тут?

EUgeneUS в сообщении #1196270 писал(а):

8. Имеем. Два интеграла по той же самой области, от той же самой функции, но с разными знаками. И опять чудо - в сумме они дают ноль.

Но ведь я написал это тут (окромя области интегрирования). Где я был не прав в тех выкладках?
Я обязательно попытаюсь разобрать Ваш алгоритм, просто решал по-своему и пытаюсь понять, где в моём варианте ошибки :)

Otta в сообщении #1196286 писал(а):

Единственное, что осталось загадочным во всей этой истории, - зачем вообще нужно было сводить интегралы второго рода к интегралам первого, когда гораздо проще и естественней было переходить сразу к кратным.

Читал, что интегралы второго рода решаются либо сведением к двойным, либо к интегралам первого.

Спасибо за ответы, буду завтра разбираться дальше, надеюсь, что-нибудь получится. Понадобится только посмотреть на решение :)

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1196270 писал(а):

Вот Вы сейчас меня спровоцировали на очередное мне предупреждение. Наверное.

Вот, кстати, странно. В правилах чётко указано, что желательно воздерживаться от развёрнутого решения задачи, если ТС не продемонстрировал попыток её решения. А я, ИМХО, даже более, чем попытался её решить :)

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196270 писал(а):

1. Рассматриваем треугольник $AOB$. Там все просто. $y=0$, векторное поле попендикулярно поверхности.

В $AOB $ игрек не равен нулю, он равен двум. Нулю там равен $z$.

-- 02.03.2017, 10:37 --

Небольшая трудность. Первый интеграл: $-\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma$, он получен правильно. Во втором мне удалось преобразовать $d\sigma$ в $dxdy$, получив $\frac{2}{3}\iint_{AOB}(x+z)dxdy$. Разве корректно будет их складывать?

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196458 писал(а):

В $AOB $ игрек не равен нулю,

Там была опечатка, интересует $AOC$, конечно. Заметил еще вечером, но было интересно, как скоры Вы найдете. Сорри.

XpucToc в сообщении #1196458 писал(а):

он равен двум

На $AOB$ игрек не равен двум.

XpucToc в сообщении #1196458 писал(а):

Небольшая трудность.

ИМХО, трудность в том, что Вы пытаетесь применить формальные методы, но знаете их не на отлично, и путаетесь. А их смысл (например, физический) представляете тоже далеко не полностью. Поэтому предлагаю Вам визуализировать, представить задачку, чуть более подробно, чем просто рисунок пирамиды.

Поле бездивергентное. Две стороны пирамиды формируют стенки трубки тока и поток через них - ноль. Две другие стороны формируют "торцы" трубки тока. Сколько в один втекло, столько через другой вытекло. Осталось понять, как это волшебство получается при правильном выполнении формальных действий.

XpucToc в сообщении #1196458 писал(а):

Первый интеграл: $-\iint_{\sigma }(x+z)d\sigma$, он получен правильно.

Верно, если под $\sigma$ понимать $AOC$.

XpucToc в сообщении #1196458 писал(а):

Во втором мне удалось преобразовать $d\sigma$ в $dxdy$, получив $\frac{2}{3}\iint_{AOB}(x+z)dxdy$. Разве корректно будет их складывать?

1. В трех соснах координатах запутались. Нас не интересуют $AOB$ и $BOC$, поток через них ноль. Они формируют "стенки" трубки тока.
2. $dxdz$ - это проекция $d\sigma$ на плоскость (на какую?)
3. $d\sigma = dxdz$ в первом интеграле (почему?)
4. $d\sigma$ не равна $dxdz$ во втором интеграле. (почему? и чему она равна?)
5. Рассмотрите маленький квадрат на $ABC$, и что с ним происходит при проекции на плоскость (какую)?

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196478 писал(а):

ИМХО, трудность в том, что Вы пытаетесь применить формальные методы, но знаете их не на отлично, и путаетесь.

В некотором роде, да. Слишком много мелких деталей надо держать в голове.

EUgeneUS в сообщении #1196478 писал(а):

Поэтому предлагаю Вам визуализировать, представить задачку, чуть более подробно, чем просто рисунок пирамиды.

Пытаюсь. Так как поток через нижнюю и самую ближнюю грань нулевой, то всё "течёт" через грани $AOC$ и $ABC$. Так как поток через $AOC$ отрицательный, а через $ABC$ положительный, то "течёт" слева направо, при этом поток одинаков через обе эти грани (сколько втекло, столько и вытекло). То есть можно представить эту пирамиду как фрагмент пространства прямоугольной водопроводной трубы, в которой равномерно течёт вода. Примерно так.

EUgeneUS в сообщении #1196478 писал(а):

2. $dxdz$ - это проекция $d\sigma$ на плоскость (на какую?)

$AOC$?

EUgeneUS в сообщении #1196478 писал(а):

3. $d\sigma = dxdz$ в первом интеграле (почему?)

Потому что $y=0$.

EUgeneUS в сообщении #1196478 писал(а):

4. $d\sigma$ не равна $dxdz$ во втором интеграле. (почему? и чему она равна?)

Не знаю :(

EUgeneUS в сообщении #1196478 писал(а):

5. Рассмотрите маленький квадрат на $ABC$, и что с ним происходит при проекции на плоскость (какую)?

Начертил на бумаге прямоугольную область и спроецировал на AOС и AOB - получил одинаковые проекции в виде несколько ужатых прямоугольников. Площадь больше - поток медленнее, это логично, учитывая, что суммарный поток равен нулю.

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196509 писал(а):

То есть можно представить эту пирамиду как фрагмент пространства прямоугольной водопроводной трубы

Ну, например.

XpucToc в сообщении #1196509 писал(а):

в которой равномерно течёт вода.

Не равномерно. Вода течет вдоль оси $Oy$, но модуль её скорости зависит от $x$ и $z$ по какой-то причине, которая физикам неведома, а математикам без разницы.

XpucToc в сообщении #1196509 писал(а):

Потому что $y=0$.

А если $y=1$? Держаться нету больше сил. Поэтому скажу так: потому что (в этом случае) проекция $d\sigma$ на $AOC$ это $d\sigma$ и есть. Саму в себя проецируем.

XpucToc в сообщении #1196509 писал(а):

Начертил на бумаге прямоугольную область и спроецировал на AOС и AOB - получил одинаковые проекции в виде несколько ужатых прямоугольников.

Вооот! Ужатых. Начертите прямоугольную область не на бумаге, а на $ABC$, спроецируйте её на $AOC$ и насколько она ужмется? Получите ответ на п.4.

ЗЫ. После того как разберетесь с этой задачкой. Вот такой вопрос на понимание.
Все тоже самое, как в этой задачке. Только векторное поле:$(x+y+z)\overline{j}$.
Вопрос: почему это не может быть потоком воды, но может быть электрическим полем?