2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Маятник на тележке с пружиной, периодические решения
Сообщение28.02.2017, 14:35 


07/06/16
21
Есть механическая система -- маятник на тележке. Считаем тележку материальной точкой с массой $m_{cart}$. Маятник (идеальный математический) с массой $m$ и длиной $l$ прикреплён к тележке, свободно вращается вокруг точки закрепления. Тележка движется только в горизонтальном направлении. Тележка прикреплена к стене пружиной (возможно нелинейной). Система консервативна.

Введены обобщённые координаты $x$ -- горизонтальная координата тележки и $\varphi$ -- угол отклонения маятника (отсчитывается от горизонтального положения). Сила натяжения пружины является гладкой функцией её деформации $F=f(x)$.

Изображение

Собственно, меня интересует вопрос существования периодических решений, при которых маятник колеблется горизонтально.

Точнее: существует ли гладкая функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, начальные условия $x_0, \dot{x}_0, \varphi_0, \dot{\varphi}_0 \in \mathbb{R}$ такие, что
    [1] траектория движения соответствующей механической системы $q_\star(t) = (x_\star(t), \varphi_\star(t))$ является периодической $\exists T>0: q_\star(t+T) = q_\star(t) \forall t \in \mathbb{R}$ и
    [2] маятник не покидает окрестности горизонтального положения $|\varphi_\star(t)| < \frac{\pi}{4} \, \forall t \in \mathbb{R}$?

Пару подобных решений мне удалось найти и доказать их существование (анимацию можно посмотреть здесь https://www.youtube.com/watch?v=NIXzwuEEPwM). Тем не менее, я не знаю как решаются такие задачи в общем виде, существуют ли общие методы их решения. Я нашёл несколько статей по теме, например Giambò - Multiple brake orbits in n-dimensional disks, там используют категорию Люстерника-Шнирельмана для решения вариационной задачи с закреплёнными концами. Но этот результат, по видимому, тут неприменим, т.к. область возможного движения $B = \{q: V(q) \leq H\}$ ($V$ -- потенциальная, $H$ -- полная энергия системы) не совпадает с той областью, в которой я ищу периодические решения.

Какие есть идеи решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник на тележке с пружиной, периодические решения
Сообщение02.05.2017, 14:16 


11/01/17
11
посмотрите про маятник Капицы

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group