Порядок централизатора

[gogoshik]

Буду благодарен, если кто-то поможет разобраться как находить порядок подгруппы.
Мне нужно найти порядки централизаторов элементов $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — повороты на 90° и на 180° в группе всех самосовмещений квадрата.
У меня получается порядки этих подгрупп равны 4. Но я не знаю, прав ли я так как ответов к задаче нет.
Почему думаю что 4. Всего в группе самосовмещений квадрата 8 элементов: $\left\lbrace e, a, b, c, d, e, f, g\right\rbrace$. Это повороты на 0°/360°, 90°, 180°, 270° - $\left\lbrace e, a, b, c\right\rbrace$ плюс симметрии/отражения $\left\lbrace d, e, f, g\right\rbrace$. Элементы $a$ и $b$ коммутируют только с четырьмя элементами $\left\lbrace e, a, b, c\right\rbrace$ группы.
Помогите, плиз!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Лучше сформулируйте конкретную задачу, указав свои попытки решения и затруднения. Или просто возьмите учебник и прочитайте ответ на Ваш вопрос в общем случае.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[AV_77]

Для $a$ правильно, для $b$ - нет.

[gogoshik]

AV_77 в сообщении #1196121 писал(а):

Для $a$ правильно, для $b$ - нет.

Тогда для $b$ равен 2? Это подгруппа $\left\lbrace{e, a}\right\rbrace$, $e=b\cdot b$??

[gogoshik]

Я так вот и не понял, правильный ответ с элементом $b$? Может кто то подсказать?

[vpb]

Выпишите таблицу умножения группы явно. И объясните, что конкретно обозначают $d,e,f,g$. Что четыре осевых симметрии понятно, но вот какой поворот Вы какой буквой обозначили, догадаться можно, а про симметрии нет. Тогда Вам всё станет более ясно.

[gogoshik]

Я понял в чем была ошибка! Вращал я все правильно, а вот отражал нет. Я оси симметрий при вращениях оставлял неподвижными, поэтому они они не коммутировали с поворотами. Попробовал их вращать вместе с поворотами и все закоммутировало!
Для элемента b (поворот на 180 градусов) будет коммутация со всеми элементами группы. Правильный ответ должен быть 8.

Вот я заинтересовался, почему когда мы определяем порядок централизатора нужно учитывать и сам элемент, который коммутирует сам с собой? Из определения централизатора я это не понял.

Спасибо!

[vpb]

Да, 8 --- правильно.