2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:10 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Добрый день. Возникло пару вопросов про то, как обращаться с о малым:
1)
$\lim \limits _{x \to 0} (\cos \sqrt x)^{\frac{1}{x}} = \lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}}$ Далее можно ли опустить о малое, дабы перейти ко второму замечательному пределу? Вернее я уже проверил в вольфраме, что можно, вопрос почему так можно?
2)
$\lim \limits _{x \to \infty} (\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x})^x = \lim \limits _{y \to 0} (\sin y - \cos y)^{\frac{1}{y}} = \lim \limits _{y \to 0} (y+o(y)-1+\frac{y^2}{2}+o(y^2))^{\frac{1}{y}} = \lim \limits _{y \to 0} (y-1+o(y))^{\frac{1}{y}}$
Тут следует аналогичный вопрос про о малое, что и в предыдущем пункте

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
О малое опускать нельзя никогда, вообще говоря. Можно жить с о малым, оно не мешает.
Ну или переходите к экспоненциальному виду, в первом случае замечательно работают эквивалентности.

А второй вообще безобразный. Там же функция не определена в окрестности нуля. Откуда Вы его достали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:27 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Ну да, я понимаю что опускать нельзя. тогда как грамотно записать переход в первом, вот так:
$\lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}} = \lim \limits _{y \to \infty} (1-\frac{1}{2y}+o(\frac{1}{y}))^y = e^{\frac{-1}{2}} $?

Второй взял из демо варианта олимпиады ВШЭ. Судя по графику функция действительно плохо себя ведет в окрестности нуля, но предел то проглядывается, да и считается он аналитически

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:32 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
Надо экспонентить логарифм:
$$(\cos{\sqrt x})^{\frac 1x} = e^{\frac 1x\ln{\cos{\sqrt x}}}.$$

Дальше решает непрерывность.
А вот со вторым пределом что-то наоборот.

P. S. Пара замечательных пределов, Тейлор, о-малые, и Вы практически Боженька.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:35 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Так я и расписывал через о малое, Тейлора, второй замечательный предел обе задачки. Просто хотел прояснить методы работы с этим о малым

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:39 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
MestnyBomzh в сообщении #1195526 писал(а):
Просто хотел прояснить методы работы с этим о малым

Под логарифмом о-малое ведет себя законопослушно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
MestnyBomzh в сообщении #1195523 писал(а):
но предел то проглядывается, да и считается он аналитически

Нет. Или Вы в ТФКП уже полезли? Все равно нет.

MestnyBomzh в сообщении #1195523 писал(а):
$\lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}} = \lim \limits _{y \to \infty} (1-\frac{1}{2y}+o(\frac{1}{y}))^y = e^{\frac{-1}{2}} $?

Так и пишете:
$$\lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}}=\lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{}^{\frac{-\frac{x}{2}+o(x)}{x}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:50 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
$$e^{\frac 1x\ln{\cos{\sqrt x}}} = e^{\frac 1x\ln{(1-\frac{x}2 + o(x)})}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
SomePupil
Ну это само собой, и это уже предлагалось (не к тому, что я претендую ))
Просто что спрошено - то и отвечаю. Вот хочет ТС знать, как так делать. Я его понимаю. Это не слишком полезно здесь, но полезно вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 13:59 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Да, тут правда проще через логарифм, тогда будет так:
$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln (1-\frac{x}{2}+o(x))}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x}{2}+o(x)}{x} = -\frac{1}{2}$$
Итого, с учетом экспоненты, $e^{-\frac{1}{2}}$

Если же идти через о малое, то так:
$$\lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{}^{\frac{-\frac{x}{2}+o(x)}{x}} = \lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{}^{-\frac{1}{2}+o(1)} $$
$$= ( \lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{})^{-\frac{1}{2}}$$
И дальше уже можно писать $e^{-\frac{1}{2}}$? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 14:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Вообще вот так вот фрагментарно к пределу не переходят. К пределу если переходят - то во всех множителях, или во всех слагаемых или... но не так, что отхватил какой попало кусок и давай переходить. Так можно крупно накосячить.

Поэтому если уж делать так - то смотреть отдельно, куда стремится выражение в квадратных скобках (очевидно, куда, мы его нарочно так стряпали) и отдельно - куда внешний показатель. А уже потом писать ответ. Въедливый препод, в этом месте, правда, может дободаться, на основании какой-такой теоремы Вы все это делаете. Это не предел суммы, не предел произведения... что это? Отсюда и совет: степенно-показательные бяки лучче логарифмировать. Там уже и о малые не нужны, просто эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 14:15 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Да, Вы правы. Даже на этом примере наглядно увидел, что логарифмы намного больше помогают. Учту это

А по поводу второй задачи авторы предлагают следующее решение:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 14:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну, это все очевидные вещи, зачем их сюда тащить. Вы бы лучше задание набирали аккуратнее ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 14:30 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ой, я минус поставил :facepalm:

-- 26.02.2017, 15:31 --

Хотя от этого разве что-то сильно поменяется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование o малое в пределах
Сообщение26.02.2017, 14:37 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
MestnyBomzh в сообщении #1195549 писал(а):
Хотя от этого разве что-то сильно поменяется?

Поменяется. Отрицательные числа надо будет возводить в произвольную степень. Что бессмысленно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Someone


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group