2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение20.02.2017, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
Сообразил, что второпях слегка налажал. Формула (1) должна быть
$$ u_y'(s,t)=-\frac{u_z'^2}{2y'}\quad(1) $$поскольку для невозмущенной цепи проходит тот же трюк с нерастяжимостью:
$dx^2+dy^2=ds^2\Rightarrow x'^2+y'^2-1=0,$ а квадрат я забыл поставить
На результате это не сказывается, только там знак еще попутан. Должно получаться
$$ \frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2}-\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{gs\frac{\partial u_z}{\partial s}}{y'(s)}\right)=0 $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение21.02.2017, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
Можно ещё на шаг продвинуться, если сделать преобразование Фурье по времени. Тогда всё сведется к задаче Штурма-Лиувилля
$$
\begin{align}
\left(\frac{gsu'}{y'}\right)'+\omega^2u=0,\\
u(0)=u(L)=0,\quad u\; \text{ограничено на}\; 0\le s\le L
\end{align}
$$Но даже в случае $y=\ch x,\; -a\le x\le a$ как-то все не оптимистично выглядит. В этом случае каноническое уравнение кривой (если, как водится, не проврался) будет
$$
\begin{align}
x&=\operatorname{arcsh}(s-\sh a)\\
y&=\sqrt{1+(s-\sh a)^2}\\
y'&=\frac{s-\sh a}{\sqrt{1+(s-\sh a)^2}}\\
L&=2\sh a
\end{align}
$$и как такое решить идей нет. (И Математики поблизости тоже.) Вот такая простенькая задачка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение22.02.2017, 13:41 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
Уравнение можно немного упростить, если использовать приближения:$$y\approx 1+\dfrac {x^2}2, x\approx s-\sh 1, \dfrac {d}{ds}=\dfrac {d}{dx}$$Считаем $a=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение22.02.2017, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
Что бы добить эту задачу, не хватает хорошей нетривиальной оценки собственных значений задачи Штурма-Лиувилля, которую я либо не знал никогда, либо напрочь забыл. Red_Herring помогите!

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение22.02.2017, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6825
Hogtown
amon в сообщении #1194649 писал(а):
собственных значений задачи Штурма-Лиувилля

О каких с.з. идёт речь? Первом, больших?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение22.02.2017, 19:39 


09/10/15
1042
San Jose, USA
amon в сообщении #1194649 писал(а):
Что бы добить эту задачу, не хватает хорошей нетривиальной оценки собственных значений задачи Штурма-Лиувилля, которую я либо не знал никогда, либо напрочь забыл. Red_Herring помогите!


(Оффтоп)

Внук-студент приходит к деду-математику.
Дед, помоги с задачей Штурма-Шиувилля.
Дед: Эх молодость-молодость! Штурмом туда, Лиувиллем сюда!

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение22.02.2017, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
Хочется оценить основное и, хорошо бы, первые возбужденные состояния задачи
$$ 
\begin{align} 
\left(\frac{gsu'(s)}{y'}\right)'&+\omega^2u(s)=0,\\
 u(0)&=u(L)=0,\quad u\; \text{ограничено на}\; 0\le s\le L\\
 y'&=\frac{s-\sh a}{\sqrt{1+(s-\sh a)^2}}
\end{align} $$

-- 22.02.2017, 19:45 --

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1194657 писал(а):
эх молодость-молодость!
Дык на старости лет это тоже полезно - мозги меньше ржавеют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение22.02.2017, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6825
Hogtown
Я подозреваю, что только численно

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение22.02.2017, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
Я это тоже подозревал с самого начала, но вдруг...

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение23.02.2017, 13:59 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
amon в сообщении #1194658 писал(а):
Хочется оценить основное и, хорошо бы, первые возбужденные состояния задачи
$$ 
\begin{align} 
\left(\frac{gsu'(s)}{y'}\right)'&+\omega^2u(s)=0,\\
 u(0)&=u(L)=0,\quad u\; \text{ограничено на}\; 0\le s\le L\\
 y'&=\frac{s-\sh a}{\sqrt{1+(s-\sh a)^2}}
\end{align} $$

Оценку основной частоты сверху можно получить вариационным методом, так как это уравнение Эйлера для функционала:$$I=\int \limits _0^L\left (\dfrac {gs(u')^2}{y'}-\omega ^2u^2\right )ds\qquad (1)$$Выберем пробную функцию, удовлетворяющую граничным условиям, например, $\bar u=as(L-s)+bs^2(L-s)^2$,подставим ее в (1), получим функцию $I(a, b)$. Из необходимого условия экстремума: $I'_a=I'_b=0$ получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов $a, b$.
Из условия существования ненулевых решений: $\det=0$ найдем допустимое значение $\omega ^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение23.02.2017, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
mihiv в сообщении #1194779 писал(а):
Выберем пробную функцию
Про Ритца я слышал, но, боюсь, возникнут трудности с оценкой точности такого ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение23.02.2017, 15:26 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
Какое-то представление о точности решения можно получить, если решить вариационным методом
с теми же пробными функциями краевую задачу, для которой известно точное решение. Например, для функционала, соответствующего уравнению: $u''+\omega ^2u=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение23.02.2017, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
mihiv в сообщении #1194796 писал(а):
если решить вариационным методом
с теми же пробными функциями краевую задачу, для которой известно точное решение.
Ну, это колхоз какой-то ;) Если бы это было уравнение Шредингера, то для него я знаю оценки основного состояния сверху и снизу, а для этого - только сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение23.02.2017, 15:54 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
А для уравнения Шредингера есть хорошая оценка снизу? Оценка Темпла вроде бы не очень удобна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малые колебания веревки
Сообщение23.02.2017, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2432
ФТИ им. Иоффе СПб
mihiv в сообщении #1194806 писал(а):
А для уравнения Шредингера есть хорошая оценка снизу?
Их, вообще-то до черта. Некоторые можно посмотреть у А.М. Бродского с Толмачевым в дополнении к первому тому "Современной квантовой химии" (первое, что под руку попалось, где-то на эту тему обзор был, но найти не могу).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group