Малые колебания веревки

[amon]

Сообразил, что второпях слегка налажал. Формула (1) должна быть

$$ u_y'(s,t)=-\frac{u_z'^2}{2y'}\quad(1) $$

поскольку для невозмущенной цепи проходит тот же трюк с нерастяжимостью:
$dx^2+dy^2=ds^2\Rightarrow x'^2+y'^2-1=0,$ а квадрат я забыл поставить
На результате это не сказывается, только там знак еще попутан. Должно получаться

$$ \frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2}-\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{gs\frac{\partial u_z}{\partial s}}{y'(s)}\right)=0 $$

[amon]

Можно ещё на шаг продвинуться, если сделать преобразование Фурье по времени. Тогда всё сведется к задаче Штурма-Лиувилля

$$ \begin{align} \left(\frac{gsu'}{y'}\right)'+\omega^2u=0,\\ u(0)=u(L)=0,\quad u\; \text{ограничено на}\; 0\le s\le L \end{align} $$

Но даже в случае $y=\ch x,\; -a\le x\le a$ как-то все не оптимистично выглядит. В этом случае каноническое уравнение кривой (если, как водится, не проврался) будет

$$ \begin{align} x&=\operatorname{arcsh}(s-\sh a)\\ y&=\sqrt{1+(s-\sh a)^2}\\ y'&=\frac{s-\sh a}{\sqrt{1+(s-\sh a)^2}}\\ L&=2\sh a \end{align} $$

и как такое решить идей нет. (И Математики поблизости тоже.) Вот такая простенькая задачка.

[mihiv]

Уравнение можно немного упростить, если использовать приближения:

$$y\approx 1+\dfrac {x^2}2, x\approx s-\sh 1, \dfrac {d}{ds}=\dfrac {d}{dx}$$

Считаем $a=1$.

[amon]

Что бы добить эту задачу, не хватает хорошей нетривиальной оценки собственных значений задачи Штурма-Лиувилля, которую я либо не знал никогда, либо напрочь забыл. Red_Herring помогите!

[Red_Herring]

amon в сообщении #1194649 писал(а):

собственных значений задачи Штурма-Лиувилля

О каких с.з. идёт речь? Первом, больших?

[fred1996]

amon в сообщении #1194649 писал(а):

Что бы добить эту задачу, не хватает хорошей нетривиальной оценки собственных значений задачи Штурма-Лиувилля, которую я либо не знал никогда, либо напрочь забыл. Red_Herring помогите!

(Оффтоп)

Внук-студент приходит к деду-математику.
Дед, помоги с задачей Штурма-Шиувилля.
Дед: Эх молодость-молодость! Штурмом туда, Лиувиллем сюда!

[amon]

Хочется оценить основное и, хорошо бы, первые возбужденные состояния задачи

$$ \begin{align} \left(\frac{gsu'(s)}{y'}\right)'&+\omega^2u(s)=0,\\ u(0)&=u(L)=0,\quad u\; \text{ограничено на}\; 0\le s\le L\\ y'&=\frac{s-\sh a}{\sqrt{1+(s-\sh a)^2}} \end{align} $$

-- 22.02.2017, 19:45 --

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1194657 писал(а):

эх молодость-молодость!

Дык на старости лет это тоже полезно - мозги меньше ржавеют.

[Red_Herring]

Я подозреваю, что только численно

[amon]

Я это тоже подозревал с самого начала, но вдруг...

[mihiv]

amon в сообщении #1194658 писал(а):

Хочется оценить основное и, хорошо бы, первые возбужденные состояния задачи

$$ \begin{align} \left(\frac{gsu'(s)}{y'}\right)'&+\omega^2u(s)=0,\\ u(0)&=u(L)=0,\quad u\; \text{ограничено на}\; 0\le s\le L\\ y'&=\frac{s-\sh a}{\sqrt{1+(s-\sh a)^2}} \end{align} $$

Оценку основной частоты сверху можно получить вариационным методом, так как это уравнение Эйлера для функционала:

$$I=\int \limits _0^L\left (\dfrac {gs(u')^2}{y'}-\omega ^2u^2\right )ds\qquad (1)$$

Выберем пробную функцию, удовлетворяющую граничным условиям, например, $\bar u=as(L-s)+bs^2(L-s)^2$,подставим ее в (1), получим функцию $I(a, b)$. Из необходимого условия экстремума: $I'_a=I'_b=0$ получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов $a, b$.
Из условия существования ненулевых решений: $\det=0$ найдем допустимое значение $\omega ^2$.

[amon]

mihiv в сообщении #1194779 писал(а):

Выберем пробную функцию

Про Ритца я слышал, но, боюсь, возникнут трудности с оценкой точности такого ответа.

[mihiv]

Какое-то представление о точности решения можно получить, если решить вариационным методом
с теми же пробными функциями краевую задачу, для которой известно точное решение. Например, для функционала, соответствующего уравнению: $u''+\omega ^2u=0$.

[amon]

mihiv в сообщении #1194796 писал(а):

если решить вариационным методом
с теми же пробными функциями краевую задачу, для которой известно точное решение.

Ну, это колхоз какой-то ;) Если бы это было уравнение Шредингера, то для него я знаю оценки основного состояния сверху и снизу, а для этого - только сверху.

[mihiv]

А для уравнения Шредингера есть хорошая оценка снизу? Оценка Темпла вроде бы не очень удобна.

[amon]

mihiv в сообщении #1194806 писал(а):

А для уравнения Шредингера есть хорошая оценка снизу?

Их, вообще-то до черта. Некоторые можно посмотреть у А.М. Бродского с Толмачевым в дополнении к первому тому "Современной квантовой химии" (первое, что под руку попалось, где-то на эту тему обзор был, но найти не могу).