Четвёртая степень, уменьшенная на единицу

[Ktina]

Меня не покидает стойкое ощущение, что эта задача на форуме уже была, причём не так давно. Более того, возможно даже я являюсь её автором.

Найти наименьшее натуральное значение $n$, для которого

$$m^4-1=n^k$$

верно при некоторых натуральных $m$ и $k$
На всякий случай напоминаю, что число $0$ натуральным не считается

[gris]

Было, да. Там я ещё задался вопросом, насколько близки могут быть степени натуральных чисел. Так вот, чтобы отличались на единицу, кроме $(8,9)$ нет и нет. А уж четвёртая степень и подавно. Но доказали ли это?
Впрочем, если смотреть издалека, то единичку можно принять за семёрку. Тогда можно и порешать, правда, недолго.
А можно объединить и вместо $1$ взять $17$, но $7$ останется наименьшим натуральным числом, которое можно написать в исходном уравнении, чтобы оно имело хоть какие-нибудь натуральные решения.

[Legioner93]

gris в сообщении #1193687 писал(а):

Там я ещё задался вопросом, насколько близки могут быть степени натуральных чисел. Так вот, чтобы отличались на единицу, кроме $(8,9)$ нет и нет

А можно поподробнее?

[gris]

Это гипотеза Каталана. https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture
Для единички в качестве расстояния её доказали, а в статье есть обобщения разного толка.
Очень вероятно, что расстояния между степенями возрастают неумолимо

[Ktina]

gris в сообщении #1193687 писал(а):

Было, да.

А Вы принципиально случайно не помните, где именно? Я её со свечками ищу и никак не могу найти.

[gris]

http://dxdy.ru/topic115164.html