Пределы

[bayah]

Докажите, что при положительных $x$ справедливо равенство $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}}$, где $\frac{1}{4} < \theta(x) < \frac{1}{2}$
Найдите $\lim\limits_{x\to0+}\theta(x)$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}\theta(x)$.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ну разрешив уравнение относительно $\theta(x)$, получим:

$\theta(x) = \dfrac{-1+4x+6x^2-8x^{\frac 3 2}\sqrt{1+x}}{4 (-1 - 2 x + 2 \sqrt x \sqrt{1 + x})}$

$\lim\limits_{x\to0+}\theta(x) = \dfrac 1 4$ это понятно.

1). А как найти предел $\lim\limits_{x\to+\infty}\theta(x)$ ?
Что-то я и так и эдак пробовал, везде получается неопределенность разных видов.
Вольфрам говорит что должно получиться $\dfrac 1 2$. Не могу понять откуда это взять. Подскажите что делать с этим пределом?

2). Допустим пределы найдены, как теперь доказать, что при всех положительных $x$ функция $\theta(x)$ удовлетворяет условиям $\frac{1}{4} < \theta(x) < \frac{1}{2}$ ?

[Otta]

bayah в сообщении #1193447 писал(а):

Докажите, что при положительных $x$ справедливо равенство $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}}$, где $\frac{1}{4} < \theta(x) < \frac{1}{2}$

Жуть какой. На сопряженное домножьте. Как обычно.

Необязательно полностью выражать прежде времени тета, достаточно возвести в квадрат данное равенство, предел номер раз оттуда виден сразу. Для предела номер два придется немножко выразить, но ничего сложного. На уровне замечательных пределов-асимптотики до первого слагаемого. Оценка в одну сторону хорошо доказывается с помощью неравенства Бернулли, в другую - совсем грубо.

[bayah]

Otta в сообщении #1193448 писал(а):

Жуть какой. На сопряженное домножьте. Как обычно.

Получим:
$\theta(x) = \dfrac{-2x + 2x \sqrt{1+ \frac 1 x} + 1}{4}$

Разделив на $x$ числитель и знаменатель и взяв предел:
$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{-2 + 2 \sqrt{1+ \frac 1 x} + \frac 1 x}{\frac 4 x} = \dfrac 0 0$

Применим правило Лопиталя, получим:
$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac 1 4\Big(\sqrt{\dfrac {x}{x+1} + 1}\Big) = \dfrac 1 2 $

А как можно посчитать без Лопиталя?

И все таки еще второй вопрос. Как доказать, что $\theta(x)$ при всех положительных $x$, остается в интервале $(\frac 1 4, \frac 1 2)$? Пределы ведь не доказывают это?

[Otta]

bayah в сообщении #1193543 писал(а):

А как можно посчитать без Лопиталя?

Otta в сообщении #1193448 писал(а):

На уровне замечательных пределов-асимптотики до первого слагаемого.

$(1+y)^a-1=?$, при $y\to 0$

bayah в сообщении #1193543 писал(а):

И все таки еще второй вопрос. Как доказать, что $\theta(x)$ при всех положительных $x$, остается в интервале $(\frac 1 4, \frac 1 2)$? Пределы ведь не доказывают это?

Otta в сообщении #1193448 писал(а):

Оценка в одну сторону хорошо доказывается с помощью неравенства Бернулли, в другую - совсем грубо.

[ewert]

bayah в сообщении #1193543 писал(а):

$\theta(x) = \dfrac{-2x + 2x \sqrt{1+ \frac 1 x} + 1}{4}$

Разделив на $x$ числитель и знаменатель

Вот напрасно это. Домножьте и разделите ещё раз первые два слагаемые на сопряжённое -- получится откровенно монотонное выражение. Отсюда мгновенно появятся и оба предела, и границы. Безо всяких лопиталей и прочих замечательных бернуллей.

Да, ещё -- чисто технический момент. Запись не очень выгодна. Лучше так: $\theta(x)=\frac{x}2\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)+\frac14$.

[bayah]

ewert в сообщении #1193556 писал(а):

Вот напрасно это. Домножьте и разделите ещё раз первые два слагаемые на сопряжённое -- получится откровенно монотонное выражение. Отсюда мгновенно появятся и оба предела, и границы. Безо всяких лопиталей и прочих замечательных бернуллей.

Действительно, тогда все просто получается. Мерси)


И все таки если считать по пределам и бернулям).

Otta в сообщении #1193546 писал(а):

$(1+y)^a-1=?$, при $y\to 0$

$(1+y)^a-1=ay + o(y)$
Так?

То есть вы имеете ввиду так?
$\lim\limits_{x \to + \infty} \Big( \frac{x}2\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)+\frac14 \Big) = \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{x}2 \cdot \lim\limits_{x \to + \infty} \left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right) + \lim\limits_{x \to + \infty} \frac14$
Тогда в $\lim\limits_{x \to + \infty} \left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)$ при $x \to +\infty$ функция $\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right) \to 0$. Значит можно применить замечательные пределы асимптотики.
$\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right) = \left((1+\frac1x)^{\frac12}-1\right) = \frac12\frac1x + o(\frac1x)$.

Подставим и получим:
$\lim\limits_{x \to + \infty} \Big( \frac{x}2\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)+\frac14 \Big) = \lim\limits_{x \to + \infty} \Big( \frac{x}2 \frac12\frac1x+\frac14 \Big) = \frac12$

Otta в сообщении #1193546 писал(а):

Оценка в одну сторону хорошо доказывается с помощью неравенства Бернулли, в другую - совсем грубо.

А как применить неравенство Бернули, не совсем понял?

[Otta]

bayah в сообщении #1195231 писал(а):

$\lim\limits_{x \to + \infty} \Big( \frac{x}2\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)+\frac14 \Big) = \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{x}2 \cdot \lim\limits_{x \to + \infty} \left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right) + \lim\limits_{x \to + \infty} \frac14$

Не надо теоремой о произведении пределов пытаться пользоваться, там где не надо и нельзя. Зря вынесли $x/2$ в отдельный предел, видите, все равно возвращать пришлось.

bayah в сообщении #1195231 писал(а):

А как применить неравенство Бернули, не совсем понял?

Да бог с ним, у ewert все равно лучше. Это я сделала как попало, не вглядываясь внимательно, а как попало и быстрее всего сделалось так. Но это не лучший способ.

По неравенству Бернулли - непосредственно. $\sqrt{1+\dfrac1x}\le 1+\dfrac{1}{2x}$.

[bayah]

Otta в сообщении #1195238 писал(а):

bayah в сообщении #1195231

писал(а):
$\lim\limits_{x \to + \infty} \Big( \frac{x}2\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)+\frac14 \Big) = \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{x}2 \cdot \lim\limits_{x \to + \infty} \left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right) + \lim\limits_{x \to + \infty} \frac14$
Не надо теоремой о произведении пределов пытаться пользоваться, там где не надо и нельзя. Зря вынесли $x/2$ в отдельный предел, видите, все равно возвращать пришлось.

А почему нельзя пределы как произведение пределов записать тут? Суть в том, чтобы часть $\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right) \to 0$ стремилась к $0$, чтобы пределы асимтотики применить. Если рассматривать в целом с $\frac x 2$, то там стремиться к бесконечности.

Otta в сообщении #1195238 писал(а):

По неравенству Бернулли - непосредственно. $\sqrt{1+\dfrac1x}\le 1+\dfrac{1}{2x}$.

А, понял.

[Otta]

bayah в сообщении #1195271 писал(а):

Суть в том, чтобы часть $\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right) \to 0$ стремилась к $0$, чтобы пределы асимптотики применить.

Что Вам мешает сделать это, не стряпая произведение пределов?

bayah в сообщении #1195271 писал(а):

А почему нельзя пределы как произведение пределов записать тут?

Потому что условия теоремы о произведении не выполнены.

[bayah]

Otta в сообщении #1195274 писал(а):

Потому что условия теоремы о произведении не выполнены.

Это какие? Конечность пределов множителей?

[Otta]

Да.

[bayah]

Otta в сообщении #1195476 писал(а):

Да.

А кстати, почему нельзя?
Не совсем понимаю смысл этих арифметических свойств пределов. То есть, в каких случаях предел произведения не равен произведению пределов? Ну если у нас получится неопределенность, то это и будет неопределенность, значит будем вычислять предел как-то иначе.
То есть чтобы эти ограничения имели смысл должен быть пример, когда предел произведения, например конечен, а произведение пределов бесконечно, или наоборот. Такое есть?

[warlock66613]

bayah, есть теорема, есть обозначенные в ней условия. Если вы считаете, что условия слишком узки, и теорема может быть обобщена на случаи, которые исходной формулировкой не покрывались, то вы, конечно, можете сформулировать расширенную теорему, доказать её и пользоваться ей — но именно в таком порядке.

В частности, чтобы рассматривать выражения вида

$$(\lim\limits_{x \to +\infty} x) \cdot \text{что-нибудь}$$

нужно для начала расширить область определения операции "умножение" — ведь исходно она определена только для чисел, а $+\infty$ числом никак не является. И при этом расширении мы лишися некоторых полезных свойств. Так есть ли смысл этим заниматься?

[bayah]

warlock66613 в сообщении #1195602 писал(а):

В частности, чтобы рассматривать выражения вида

$$(\lim\limits_{x \to +\infty} x) \cdot \text{что-нибудь}$$

нужно для начала расширить область определения операции "умножение" — ведь исходно она определена только для чисел, а $+\infty$ числом никак не является. И при этом расширении мы лишися некоторых полезных свойств. Так есть ли смысл этим заниматься?

Ну а вот например взять сумму и рассмотреть такие последовательности $x_n$ и $y_n$, где $x_n$ стремится к $+\infty$ а $y_n$ к $b$.
Мы же можем сказать, что $\lim \limits_{n \to \infty} (x_n + y_n) = +\infty$?
Это мы что сделали, если не определили, что $+\infty + c = +\infty$?

[Otta]

Можем. А вот если второй предел равен $-\infty$ - ничего не можем. И вообще бесконечные пределы - это совершенно особая категория, стандартные теоремы посвящены (как правило) конечным. Тут все очень зависит от автора учебника, но вот, скажем, в курсе анализа, который читали мне в свое время, слова "существует предел" говорились только про конечный предел. Поскольку по определению, " предел функции (последовательности) - это число, такое что....". Ну и многие еще коллизии в этом месте возникают, если разрешить бесконечному пределу те же права. Так что нет, бесконечные пределы удобны как класс, не зря же их выделили отдельно, работать с ними можно, но теоремы для них свои.