2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля)
Сообщение10.02.2017, 22:38 


16/12/16
1
Всем привет! Сегодня преподаватель дал интересную задачку - найти сумму кубов биномиальных коэффициентов. Посидев некоторое время, решил поискать информацию в Интернете. Нашёл красивое выражение
{S_n}= \sum\limits_{k = 0}^n{{{(C_n^k)}^3}}= \sum\limits_{k = 0}^n{{{(C_n^k)}^2}C_{2k}^n}

Так называемое первое тождество Штреля (если я правильно понял). Кстати, не понимаю, почему в правой части равенства суммирование ведётся от 0, а не от 1. Ведь при $k=0$ для $Sn$ мы получаем множитель $C_0^n=-n$.
Также через некоторое время я нашёл рекуррентное соотношение для этой суммы
${S_n}= \frac{{(7{n^2}- 7n + 2){S_{n - 1}}+ 8{{(n - 1)}^2}{S_{n - 2}}}}{{{n^2}}}$

Однако сколько я не искал, я не смог найти понятного доказательства как для первого равенства, так и для второго. Возможно кто-то из вас знает, доказательство любого из 2ух равенств? Или хотя бы подскажет, где посмотреть/спросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля)
Сообщение11.02.2017, 07:21 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5151
Думаю, вам придется читать в серьёзных источниках. См. A000172 и там далее по ссылкам.
Например, рекуррентые соотношения для (обобщённых) чисел Френеля выводятся в статье Cusick (1989).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group