Решить кубическое уравнение в 11-м классе

[Dmitriy40]

Подскажите как надо решать такую штуку в 11-м классе школы?

$$3^{-2x+4}-81 \cdot 3^{-x+3}-3^{x+1}+81 \leqslant 0$$

Я подозреваю тут опечатку, в третьем слагаемом, перед $x$ должен быть минус и тогда всё несложно решается. Но вот если решать как есть, то после замены $t=3^{-x}$ получается кубическое неравенство $t^3-3^3t^2+t-3^{-3}\leqslant 0$, в котором угадать один существующий корень $t=3^{-(x \approx -2,99875)}$ проблематично. И тем более проблематично доказать что он единственный.
Можно преобразовать до $(t^2+1)(t-3^3) \leqslant 3^{-3}-1$ и получить ограничение на область решений $x>-3$. Используя производную $f'(x)=3\ln3\cdot(-2\cdot 3^{-2x+3}+3^{-x+6}-3^x)$ или $f'(t)=3\ln3\cdot(-2\cdot3^3t^2+3^6t-t^{-1})$ в точке $x=-3$ можно приблизительно найти и сам корень, приведён выше, но дальше затык. Искать нули производной не легче поиска нулей самой функции, оба уравнения кубические относительно $t$, корни не угадываются. Построив график в любой программе видно отсутствие других нулей, но это ж не решение.
Можно ли это неравенство решить без угадывания и в рамках знаний 11-го класса школы? Задача взята из домашнего задания после списывания оного с доски, решена с исправлением опечатки и уже отдана, заинтересовало можно ли решить именно в таком виде, надеюсь подскажете вдруг какой красивый метод не заметил.

[EtCetera]

Формула для нахождения корня приведенного кубического уравнения легко выводится в рамках знаний 118-го класса (для этого достаточно уметь находить корни квадратного уравнения). Как и способ сведения уравнения общего вида к приведенному.

[Brukvalub]

Dmitriy40 в сообщении #1190651 писал(а):

И тем более проблематично доказать что он единственный.

И изучение производной - в 11-м классе не помогает?

[Dmitriy40]

Может я конечно торможупозабыл уже всё, но не помню чтобы в школьной программе давались методы решения кубического уравнения, кроме как угадать один из корней и поделить полиномы. Ну или свернуть в полный куб суммы/разности или сумму/разность кубов. Ничего из этого не подходит.

EtCetera
Ткните пожалуйста в формулу корней кубического уравнения, либо из школьной программы, либо выводящуюся из неё же за полчаса-час?

Brukvalub
Ага, не помогает. Для получения знаков функции надо найти её нули и знаки в промежутках. Была мысль найти интервалы возрастания/убывания функции и её минимумы/максимумы и из них получить количество нулей (чтобы показать что корень единственный, а около $x=3$ корня нет), но для этого нужны нули производной, а её вычисление не упрощается, степень так и остаётся кубической. Или я что-то не понимаю?

-- 08.02.2017, 01:46 --

Да, всё же туплю. После замены $t=3^{-x}$ уже можно брать производную по $t$ и доказывать что корень кубического уравнения лишь один. Ну а дальше уже калькулятор.

[EtCetera]

Я в школе пользовался таким способом.

Допустим, у нас есть уравнение $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Тогда заменой $x=y+C$ мы можем привести его к виду $y^3+py+q=0$ (определить значение нужной для этого постоянной $C$ легко, раскрыв скобки и приравняв коэффициент при $y^2$ к нулю, $C=-\frac{b}{3a}$).

Решение уравнения $y^3+py+q=0$ будем искать в виде $y=z_1+z_2$. Наложим на $z_1$, $z_2$ дополнительное условие: $3z_1z_2+p=0$. Тогда уравнение перепишется в виде $z_1^3+z_2^3+q=0$. Таким образом, мы имеем систему уравнений

$$\left\{\begin{array}{l}z_1^3z_2^3=-\left(\frac{p}{3}\right)^3\\ z_1^3+z_2^3=-q\end{array}\right.$$

...эквивалентную квадратному уравнению $u^2+qu-\left(\frac{p}{3}\right)^3=0$, корнями которого являются величины $z_1^3$ и $z_2^3$. Но

$$u_{1,2}=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$$

Т.е.

$$y=\sqrt[3]{z_1^3}+\sqrt[3]{z_2^3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$

Конечно, с помощью этой формулы мы можем получить только действительный корень кубического уравнения (в случае, если он один). Получить три действительных корня тоже можно, но для этого нужно знание комплексных чисел и дополнительные заклинания. Однако такой метод (при всех его ограничениях) обладает весомым плюсом: его не только может понять, но даже и "переоткрыть" достаточно смышленый школьник (особенно если дать ему "подсмотреть" окончательный ответ).

[Metford]

EtCetera в сообщении #1190687 писал(а):

Я в школе пользовался таким способом.

Недурно... Нам в школе про лемму Тартальи (кажется, так называется та система, которой Вы воспользовались) не рассказывали. А если бы и рассказали, то воспользоваться в полной мере этим решением, действительно, удалось бы далеко не всегда. Комплексных чисел в школе тоже нет, а случай трёх вещественных корней в них нуждается. Как это... casus irreducibilis...

[EtCetera]

Metford в сообщении #1190688 писал(а):

Нам в школе про лемму Тартальи (кажется, так называется та система, которой Вы воспользовались) не рассказывали.

Нам тоже не рассказывали. Но мне очень хотелось понять, как можно вывести формулу Кардано (я ее где-то увидал, и почему-то она представлялась мне весьма загадочной). И если догадаться про представление ответа в виде суммы, то дальше уже все довольно просто (выбор из наложений дополнительного условия на $z_1$, $z_2$ не велик).

Metford в сообщении #1190688 писал(а):

Комплексных чисел в школе тоже нет

Не везде и не всегда, насколько я могу судить, так что все не так плохо.

[Dmitriy40]

EtCetera
В вики это названо формулой Кардано.
В данном случае достаточно было вычислить дискриминант и убедиться что вещественный корень ровно один, случайно угаданный $x\approx-3$. Но форумулу дискриминанта тоже надо заранее знать. Понять эту магию в школе можно, а вот вывести - точно нет.

[Лукомор]

Dmitriy40 в сообщении #1190651 писал(а):

Но вот если решать как есть, то после замены $t=3^{-x}$ получается кубическое неравенство $t^3-3^3t^2+t-3^{-3}\leqslant 0$

А у меня получается $t^3-{3^3}{t^2}+{3^6}t-3^3\leqslant 0$.

[Dmitriy40]

Лукомор
Хорошо, покажу по шагам как делал, покажите ошибку:
исходное: $3^{-2x+4}-81 \cdot 3^{-x+3}-3^{x+1}+81 \leqslant 0$,
переписываем: $3^4({3^{-x})}^2-3^73^{-x}-3/3^{-x}+3^4 \leqslant 0$,
делаем замену $t=3^{-x}$: $3^4t^2-3^7t-3/t+3^4 \leqslant 0$,
домножаем на $t$: $3^4t^3-3^7t^2-3+3^4t \leqslant 0$ - уже не совпадает с вашим,
делим на $3^4$: $t^3-3^3t^2+t-3^{-3} \leqslant 0$ - моё выше.
И?

-- 08.02.2017, 09:12 --

Лукомор
Вы подставили $t=3^x$ и забыли поменять знак отношения на $\geqslant 0$, я же подставлял $t=3^{-x}$, потому и разница.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1190651 писал(а):

Можно ли это неравенство решить без угадывания и в рамках знаний 11-го класса школы?

Нет.
Но странно, что это 11-й класс, а не 10-й. По крайней мере, в 10-м похожие неравенства тоже решают.

[Лукомор]

Dmitriy40 в сообщении #1190712 писал(а):

Вы подставили $t=3^x$ и забыли поменять знак отношения на $\geqslant 0$, я же подставлял $t=3^{-x}$, потому и разница.

Всё именно так и было!
Если не считать моей ошибки с переменой знака, у нас совершенно идентичные записи, только я подставлял $t=3^x$.

[TR63]

Dmitriy40 в сообщении #1190682 писал(а):

После замены $t=3^{-x}$ уже можно брать производную по $t$ и доказывать что корень кубического уравнения лишь один.

При $1\le t\le27$, с учётом производной, понятно, что будет один положительный корень. Как доказать, что при $0<t<1$ нет положительных корней (без производной проще, вроде).

[Dmitriy40]

TR63 в сообщении #1191133 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1190682 писал(а):

После замены $t=3^{-x}$ уже можно брать производную по $t$ и доказывать что корень кубического уравнения лишь один.

При $1\le t\le27$, с учётом производной, понятно, что будет один положительный корень. Как доказать, что при $0<t<1$ нет положительных корней (без производной проще, вроде).

Не вижу разницы между $t<1$ и $t>1$. После накладывания ограничений $0<t<27$ получаем значения функции на концах этого интервала, потом используя производную устанавливаем интервалы возрастания/убывания $f(t)$, находим координаты максимума и максимума, проверяем что они оба $<0$ и делаем окончательный вывод о единственности пересечения функцией оси $0x$.

[TR63]

Dmitriy40 в сообщении #1191155 писал(а):

Не вижу разницы между $t<1$ и $t>1$

При $t\ge1$ расчёты можно производить устно (без калькулятора), не напрягаясь. Если $0<t<1$, можно рассмотреть уравнение $t^3-at^2+t-\frac1 a=0$ и решить его как квадратное относительно переменной (a). Получим, что для существования (a), необходимо выполнение условия $t\ge1$ (дискриминант должен быть неотрицателен). Т.е. этот случай можно не рассматривать.