Вопрос про теорему Гаусса

[tohaf]

В учебнике приводится закон Кулона (в вакууме) в Гауссовой системе и в системе СИ.
Отличаются они наличием коэффициента пропорциональности k.
Далее приводится доказательство теоремы Гаусса для точечного заряда.
Поток равен произведению напряженности на площадь и на косинус между напряженностью и нормалью поверхности.
Почему при её объяснении используется формула напряженности поля с коэффициентом k, что в итоге даёт красивый итог в виде сокращения на четыре пи?
Можно ли сформулировать эту теорему, используя формулу напряженности выраженную в Гауссовой системе, т.е. без k ?
Или в формуле напряженности в Гауссовой системе коэффициент k есть, но просто равен 1?

[Gickle]

tohaf в сообщении #1190272 писал(а):

Можно ли сформулировать эту теорему, используя формулу напряженности выраженную в Гауссовой системе, т.е. без k ?

Физика не зависит от выбранной вами системы единиц измерения. Все законы, сформулированные в рамках одной системы, могут быть точно так же сформулированы в другой.

Цитата:

Или в формуле напряженности в Гауссовой системе коэффициент k есть, но просто равен 1?

Да, в Гауссовой системе фигурирующая константа в законе Кулона $k = 1$.

[Walker_XXI]

Более того, теорема Гаусса - чисто математическая теорема.

[Munin]

Словом "теорема Гаусса" в учебниках называются два разных утверждения: "физическая теорема Гаусса" $\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=4\pi Q$ и "математическая теорема Гаусса" $\displaystyle\oint\vec{v}\cdot d\vec{S}=\int(\operatorname{div}\vec{v})\,dV.$ Неудобная терминология, но не мы её составили, надо просто знать.

[Metford]

Если математическую теорему называть теоремой Остроградского-Гаусса (как это часто и делается) - то они вполне себе различимы.

[Munin]

А часто - не делается.

[Walker_XXI]

Так называемая "физическая теорема Гаусса" не завязана на конкретную физику и верна для любого поля кулоновского типа (например, для ньютоновского гравитационного). Это чистая математика. Просто так получилось, что подобные поля играют заметную роль в физике. Кстати, "физическая" и "математическая" теоремы Гаусса(-Остроградского) тесно связаны:
$\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\int(\operatorname{div}\vec{E})\,dV = \int 4 \pi \rho\,dV = 4 \pi Q.$

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1190349 писал(а):

Так называемая "физическая теорема Гаусса" не завязана на конкретную физику и верна для любого поля кулоновского типа (например, для ньютоновского гравитационного). Это чистая математика.

Я не знаю, что такое "поле кулоновского типа". Для многих полей она неверна: для поля Юкавы, для поля Янга-Миллса, для гравитационного ОТО.

Разумеется, эта теорема верна чисто математически при условии $\operatorname{div}\vec{E}=4\pi\rho.$ Однако само это условие выполняется далеко не всегда.

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1190362 писал(а):

Я не знаю, что такое "поле кулоновского типа"
...
Разумеется, эта теорема верна чисто математически при условии $\operatorname{div}\vec{E}=4\pi\rho.$

Поле "кулоновского типа" - это векторное поле на $\mathbb{R}^3$, пропорциональное градиенту кулоновского потенциала. В свою очередь кулоновским потенциалом называют скалярную функцию $\varphi(\vec{r})$ на $\mathbb{R}^3$ (скалярное поле), пропорциональную $\dfrac{1}{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}$. В частности это кулоновский электростатический потенциал точечного заряда. Поле кулоновского типа удовлетворяет уравнению $\operatorname{div}\vec{E}=4\pi\rho$ (которое иногда называют "теоремой Гаусса в дифференциальной форме"). Однако всё сказанное верно и для более общего случая потенциала $V = \dfrac{1}{\left\lvert\vec{r}\right\rvert} * \rho$ (здесь $\rho$ - обобщённая функция "плотности заряда", а $*$ означает свёртку), обычно называемого ньютоновым потенциалом. Если $\rho$ - финитная обобщённая функция, то ньютонов потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона $\Delta V = -4\pi\rho$.

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1190694 писал(а):

Поле "кулоновского типа" - это векторное поле на $\mathbb{R}^3$, пропорциональное градиенту кулоновского потенциала. В свою очередь кулоновским потенциалом называют скалярную функцию $\varphi(\vec{r})$ на $\mathbb{R}^3$ (скалярное поле), пропорциональную $\dfrac{1}{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}$. В частности это кулоновский электростатический потенциал точечного заряда.

Ну знаете! Аж два раза "пропорциональным"! Выбором единиц измерения, можно от обоих избавиться. Откуда эти определения, назовите литературу? Или самоструганые?

Walker_XXI в сообщении #1190694 писал(а):

Однако всё сказанное верно и для более общего случая потенциала $V = \dfrac{1}{\left\lvert\vec{r}\right\rvert} * \rho$

Это каким же образом он "более общий"? Я вижу только меньшую общность (для $\vec{E}$ можно задать неубывающие гранусловия на бесконечности), или может быть, совпадающую.

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1190790 писал(а):

Откуда эти определения, назовите литературу? Или самоструганые?

Почти "самоструганые". Конечно, соответствующим выбором системы физических единиц можно сделать коэффициент пропорциональности равным единице. Однако мы рассматриваем чистую математику. Если помните, именно разные значения этих коэффициентов пропорциональности в разных системах единиц и вызвали вопросы у TC. Я лишь хочу сказать, что с математической точки зрения конкретные значения коэффициентов не важны - в теореме Гаусса всего лишь будет другая константа. Суть теоремы не в "красивом итоге в виде сокращения на четыре пи", а в том, что поток через границу объёма пропорционален сумме зарядов внутри объёма (а коэффициент пропорциональности - константа, зависящая от выбранной системы единиц).

Munin в сообщении #1190790 писал(а):

Это каким же образом он "более общий"?

Более общий по отношению к кулоновскому потенциалу точечного заряда $\dfrac{q}\left\lvert\vec{r}\right\rvert}$. В вопросе ведь речь шла о доказательстве теоремы Гаусса для точечного заряда.

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1192405 писал(а):

Почти "самоструганые".

Просто на эту тему есть общепринятые определения и термины. А ваши к ним опасно близки, настолько, что могут смешаться.

Walker_XXI в сообщении #1192405 писал(а):

Однако мы рассматриваем чистую математику.

В чистой математике вопросов систем единиц вообще обычно не рассматривается. Так что не надо. Изначальный вопрос был на физику, и всё дальнейшее обсуждение велось в контексте физики.

Кстати, если вы хотите смешивать системы единиц и чистую математику. У меня возник вопрос в сторону: а можно ли сделать какую-нибудь размерность алгебраически отрицательной? Так, чтобы из формулы минус пропал.

Walker_XXI в сообщении #1192405 писал(а):

В вопросе ведь речь шла о доказательстве теоремы Гаусса для точечного заряда.

Вообще ничего не понял. А что есть "теорема Гаусса для точечного заряда"?

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1192413 писал(а):

Кстати, если вы хотите смешивать системы единиц и чистую математику

Не хочу :)
Я наоборот предлагал отделить математическую проблему от конкретной физической задачи, чтобы увидеть, что системы единиц тут ни при чём.

Munin в сообщении #1192413 писал(а):

Вообще ничего не понял. А что есть "теорема Гаусса для точечного заряда"?

Не моя терминология - топикастера. Но, на мой взгляд, всё понятно - стандартное рассмотрение потока электростатического поля для одного заряда (см., например, Сивухин, т.3, §5, п.2 или Джексон, §3).

[Munin]

Это, да, - чисто математическая задача. Само поле точечного заряда известно. Осталось найти интеграл.

[tohaf]

Можно еще вопрос. Насчет того, что поток через замкнутую поверхность равен нулю.
Если поместить тонкостенный куб в однородное поле (например, между двумя заряженными пластинами, только так, чтобы одна из плоскостей куба была параллельна плоскости ZOY). Через боковые поверхности куба поток будет равен нулю, потому что угол между нормалями и напряженность равен 90 градусам.
А вот через две оставшихся поверхности...
Я правильно понимаю, что у первой поверхности нормаль смотрит в сторону плоскости ZOY (т.е. противоположно вектору напряженности) и именно поэтому угол между нею и вектором напряженности равен 180 градусам? А тогда и косинус равен -1 ? Поэтому поток через первую поверхность будет отрицательным (так и произносится, получается?), через вторую - точно такой же по модулю, но с плюсом и в итоге получим ноль?