ТФКП. Доказать неравенства.

[Charlz_Klug]

Задача:
Пусть $z_1$ и $z_2$ $\text{---}$ произвольные комплексные числа, а $a_1$ и $a_2$ $\text{---}$ действительные числа ($a_1^2 + a_2^2 \ne 0$). Доказать неравенства $|z_1|^2 + |z_2|^2 - |z_1^2+z_2^2| \le 2 \frac {|a_1 z_1 + a_2 z_2|^2} {a_1^2+a_2^2} \le |z_1|^2+|z_2|^2+ |z_1^2+z_2^2|$.

Указание:
Ввести вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\tg{\alpha} = \frac {a_1} {a_2}$, представить оцениваемое выражение в виде $A + B \sin{2 \alpha} + C \cos {2 \alpha}$ и найти его наибольшее и наименьшее значения.

Что удалось:
Если использовать подстановку $\tg{\alpha} = \frac {a_1} {a_2}$ и $z_1 = x_1 + i y_1$ с $z_2 = x_2 + i y_2$, то выражение
$2 \frac {|a_1 z_1 + a_2 z_2|^2} {a_1^2+a_2^2} = $ $(x_1^2 + y_1^2 +x_2^2 + y_2^2) + (x_2^2 + y_2^2-x_1^2-y_1^2) \cos {2 \alpha} + 2 (x_1 x_2 + y_1 y_2) \sin {2 \alpha}$.
Пока писал пришла одна идея, надо обдумать. Прошу, пока, не отвечать на моё сообщение.

[Charlz_Klug]

Всё, разобрался. Спасибо за сайт! Помог по новому взглянуть на задачу.