тензорное произведение

[FeelUs]

$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac\\ad\\bc\\bd\end{pmatrix}$

Можно ли указанное выше действие назвать тензорным произведением?

[Xaositect]

А дайте-ка определение тензорного произведения.

[FeelUs]

вроде как под функториальность подходит, но меня сбивает с толку частный случай: обязательно ли второй вектор должен быть строкой, чтобы получилась матрица?

[Dan B-Yallay]

FeelUs в сообщении #1189386 писал(а):

Можно ли указанное выше действие назвать тензорным произведением?

Wiki писал(а):

Свойства

$$\displaystyle \dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$$

[kp9r4d]

FeelUs
Мне тоже кажется, что ерунда написана в частном случае. Очевидно, что то тензорное произведение вектора на ковектор, а не вектора на вектор.

[Munin]

Написанное можно называть только несколькими буковками и скобочками, пока не определено, что это за объекты, и в какие алгебраические системы включены.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1189438 писал(а):

Написанное можно называть только несколькими буковками и скобочками, пока не определено, что это за объекты, и в какие алгебраические системы включены.

Очень понравилась фраза своей универсальностью, её можно буквально копировать и вставлять вообще под любой формулой.

[FeelUs]

Dan B-Yallay в сообщении #1189409 писал(а):

FeelUs в сообщении #1189386 писал(а):

Можно ли указанное выше действие назвать тензорным произведением?

Wiki писал(а):

Свойства

$$\displaystyle \dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$$

$2\cdot 2=4$ - OK

числа это

Нильсен и Чанг (квантовые вычисления) в разделе 2.1.7. говорит, что
$|0\rangle|0\rangle+|1\rangle|1\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ - элемент пространства $V\otimes V$

Но получится всё равно тензор типа (2,0) в пространстве размерностью 2, а матрично-столбцово-строковая запись не совсем корректна: например если я захочу $\langle a|(|b\rangle\otimes|c\rangle)$, то я должен буду конкретизировать $\langle a|b\rangle |c\rangle$ или $|b\rangle\langle a|c\rangle$

Но если я скажу, что так делать не буду, а буду работать в пространстве размерностью 4 и договорюсь $(\langle a|\otimes\langle b|)(|c\rangle\otimes|d\rangle)=\langle a|d\rangle\langle b|c\rangle$, то матрично-столбцово-строковая запись вновь становится корректной, а также самая первая формула в этом топике обретает смысл.

[Dan B-Yallay]

FeelUs в сообщении #1189486 писал(а):

$2\cdot 2=4$ - OK

Действительно. Тогда осталось определить операции на полученной конструкции. А то ведь любой массив элементов можно вытянуть в строку.

[kp9r4d]

Мне одному очевидно, что речь идёт о двумерном векторном пространстве $V$ с фиксированным упорядоченным базисом $e_1,e_2$ и $e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$, а у $V \otimes V$ с упорядоченным базисом $e_1 \otimes e_1, e_1 \otimes e_2, e_2 \otimes e_1, e_2 \otimes e_2$? Я просто вообще не вижу простора для интерпретаций в равенстве в ТС-посте, там, как по мне, всё чётко и очевидно верно.

[arseniiv]

На самом деле можно ещё рисовать строки строк и столбцы столбцов (и столбцы строк строк столбцов столбцов, скажем), и свёртки будут выглядеть более-менее прозрачно как и для обычных матриц-столбцов-строк (матрицу можно понимать как строку столбцов или столбец строк). Можно даже принять, что всё более и более вложенные скобочки соответствуют последовательным индексам тензоров в индексной записи.

Насколько это удобно — думаю, зависит от приложений, но делать так безусловно тоже можно.

[Munin]

kp9r4d
Я боюсь, если ТС что-то спрашивает, то ему что-то не очевидно. Надо выяснить, что именно.