Нелинейное ОДУ 1-го порядка

[galoperidol]

День добрый.
Столкнулся с дифуром вида $y'=\frac{F(x,y)}{y\cdotp x\cdotp (x-1)}$, где $F(x,y)$ гладкая функция; $x\in[0;1], y\leq0$. Хотелось бы понять поведение решения вблизи $x=0$. Если, полагая $x,y$ малыми величинами, "поотбрасывать лишнее" в $F(x,y)$, можно получить опять-таки нелинейный дифур $y'=\frac{F_1(x,y)}{y\cdotp x\cdotp (x-1)}$ ($F_1(x,y)\approx F(x,y)$ при малых $x,y$), который имеет аналитическое решение. Строил решения исходного и полученного дифура в MATLAB - при некоторых краевых условиях решения почти идентичны, при некоторых - мягко говоря не очень. Хочется почитать что-то по теме, буду благодарен за полезные отсылки.

[Red_Herring]

А что известно про числитель, кроме того, что он гладкий? Что можно сказать о нем, когда $x=0$?

[galoperidol]

Red_Herring в сообщении #1188643 писал(а):

А что известно про числитель, кроме того, что он гладкий? Что можно сказать о нем, когда $x=0$?

Полином четвертой степени от $y$. При $y=0$ в ноль не обращается.

[Red_Herring]

Давайте попробуем ответить на вопросы:
1) может ли решение стремиться к $\infty$ когда $x\to 0$? Здесь ответ дает $F=\pm y^4$
2) может ли решение стремиться к $0$ когда $x\to 0$? десь ответ дает $F=\pm 1$.

Разумеется в 1) важен коэффициент $a(x)$ при $y^4$, а в 2) свободный член $e(x)$; я считаю, что $a(0)\ne 0, e(0)\ne 0$.

[galoperidol]

Red_Herring в сообщении #1188657 писал(а):

Давайте попробуем ответить на вопросы:
1) может ли решение стремиться к $\infty$ когда $x\to 0$? Здесь ответ дает $F=\pm y^4$
2) может ли решение стремиться к $0$ когда $x\to 0$? десь ответ дает $F=\pm 1$.

Разумеется в 1) важен коэффициент $a(x)$ при $y^4$, а в 2) свободный член $e(x)$; я считаю, что $a(0)\ne 0, e(0)\ne 0$.

Коэффициент при $y^4$ это $x^2-1$; свободный член $k\cdotp (x-1)$. Действительно, $a(0)\ne 0, e(0)\ne 0$

[Red_Herring]

Ну тогда действуйте как я написал: полезная информация в 1) содержится в $F=a(0)y^4$ 2) содержится в $F=e(0)$. Замените $x-1$ на $-1$

[galoperidol]

Спасибо Вам, попробую извлечь что-то полезное.