Автоморфизмы. Элементарный вопрос

[wedneses]

Рад был бы получить разъяснение в следующем вопросе.

Есть группа $G$, и соответственно $Aut(G)$ - множество всех автоморфизмов группы $G$.
У меня никак не получается понять, почему $Aut(G)$ образует именно ПОДГРУППУ группы $S(G)$ всех биективных отображений $G \to G$. Почему не $Aut(G) = S(G)$, раз обе группы - множества всех биекций $G \to G$?

[Metford]

Насколько я понимаю, автоморфизм должен сохранять групповую операцию. Просто биективное отображение не обязано это делать.

[Someone]

wedneses в сообщении #1186970 писал(а):

Почему не $Aut(G) = S(G)$, раз обе группы - множества всех биекций $G \to G$?

Потому что произвольная биекция не обязана быть автоморфизмом. См. определение автоморфизма и изоморфизма.

[wedneses]

Someone

Спасибо, теперь осознал. Не могли бы какой-нибудь простенький пример привести?

[Someone]

Возьмём группу $G$ из двух элементов: $e$ — единичный элемент, $a$ — второй элемент. Умножение: $ee=aa=e$, $ae=ea=a$.
Биекция $f\colon G\to G$: $f(e)=e$, $f(a)=a$.
Биекция $g\colon G\to G$: $g(e)=a$, $g(a)=e$.

Проверьте, которая из них автоморфизм, а которая — нет.

[wedneses]

Someone

Спасибо!