А вот, например, решение для случая когда

- функциональный символ.
запишем теорию состоящую из одной аксиомы:

Это получается что-то вроде доказательства того, что все системы в классе будут бесконечны.
Допустим, множество

имеет мощность

, те оно конечно.
Тогда на месте первого элемента в двухместной функции может быть

вариантов элементов. Аналогично для второго. Итого получается

различных(!) вариантов результата функции
Но это противоречит тому, что мощность множества всего
Следовательно, множество

бесконечно и класс является конечно аксиоматизируемым.
Поправьте меня, пожалуйста, если я не прав.