Что из себя представляет не измеримое множество по Жордану?

[pisareva455]

Это что-то типа множества, состоящего из отдельных точек? Непонятно.

[DeBill]

pisareva455
Что значит "из отдельных?" Вы имеете в виду "из изолированных"?
Если это - так, то - нет, не так Вообще говоря....
Если грубо, можно указать две причины, порождающие "неизмеримость":
а) неограниченность множества: есть посл-ть точек множества, уходящая "в туман" (на бесконечность, то бишь). И тогда неизмеримость есть, а точки посл-ти - да, могут быть изолированные (а могут и не быть)
б) (для ограниченного множества) Вот тут как раз изолированные точки (как самого множества, так и его дополнения) совершенно делу не мешают. А продуцирует неизмеримость наличие участков, на которых плотны и само множество, и его дополнение.
Упр. Приведите примеры, соответствующие а) и б).

[pisareva455]

DeBill
Я только один пример знаю - Канторово множество.

[Red_Herring]

pisareva455 в сообщении #1186338 писал(а):

Я только один пример знаю - Канторово множество.

Обычный канторов континуум как раз измерим по Жордану, а "жирный" нет

[Vince Diesel]

Множество рациональных чисел на отрезке $[0,1]$ неизмеримо по Жордану.

[DeBill]

DeBill в сообщении #1186334 писал(а):

Если грубо

Грубая картинка - она и есть грубая, однако (см. про "жирный кантор-сэт").
Ну, а честно - есть же у нас критерий измеримости: граница должна покрываться КОНЕЧНЫМ числом интервалов сколь угодно малой длины. Вот любые примеры с "толстой" границей и дают неизмеримость.

[g______d]

DeBill в сообщении #1186358 писал(а):

граница должна покрываться КОНЕЧНЫМ числом интервалов сколь угодно малой длины

Граница должна иметь нулевую меру Лебега, поэтому бесконечным тоже можно.

[DeBill]

g______d
Для ограниченных множеств - это не важно:
Граница - компакт, так что нулевость меры Лебега или Жордана - равносильны.

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #1186344 писал(а):

Множество рациональных чисел на отрезке $[0,1]$ неизмеримо по Жордану.

И что самое замечательное в этом примере (помимо его простейшести) -- это что он заодно показывает отсутствие у меры Жордана счётной аддитивности.

[pisareva455]

А правильно ли я понимаю, что критерий неизмеримости по Жордану, это когда не совпадают нижняя и верхняя мера множества?
Если это так, то можно ли привести более точное определение, кроме "грубого" от DeBill?

Еще я не поняла с примером про "жирного Кантора" и обычного. Вот, например, рассмотрим отрезок [0, 1] и разделим его на три части. После центральную часть вырежем, а с крайними рекурсивно проделаем то же самое. Такое множество будет не измеримым по Жордану?
Это же самый обычный пример. А чем прикол "жирного"?

[Someone]

pisareva455 в сообщении #1186374 писал(а):

Вот, например, рассмотрим отрезок [0, 1] и разделим его на три части.

Подразумевается. что равной длины?

pisareva455 в сообщении #1186374 писал(а):

А чем прикол "жирного"?

Берём число $\alpha\in\left(0;\frac 13\right)$. На первом шаге удаляем средний отрезок длины $\alpha$, на втором — длины $\alpha^2$, на третьем — $\alpha^3$,…

[DeBill]

pisareva455 в сообщении #1186374 писал(а):

А правильно ли я понимаю, что критерий неизмеримости по Жордану, это когда не совпадают нижняя и верхняя мера множества?

Нет: это - определение измеримости.
Критерий измеримости: множество измеримо по Жордану - т.и т.т., когда оно ограничено, и (верхняя) мера его границы равна нулю. (что есть равносильно тому, что я писал выше).

-- 21.01.2017, 22:27 --

pisareva455 в сообщении #1186374 писал(а):

Такое множество будет не измеримым по Жордану?

Такое - если выбрасывать ровно треть - будет измеримо (Вам уже писали).

[pisareva455]

DeBill, спасибо, теперь все намного яснее. Только вот в чем отличие в определении, кроме того, что я не указала ограниченность?

[kp9r4d]

Ещё одна псевдоконструкция неизмеримого множества. Конструкция неформальная и нестрогая, конечно, но, мне кажется, даёт неплохой образ, впервые я её увидел у Тао.

Пусть для каждой точки отрезка $[0..1]$ мы подбросили симметрическую монетку и множество $A$ составили из всех тех точек, симметрическая монетка которых выпала орлом. Тогда, если бы оно было измеримо, то для любого интервала $B \subset [0..1]$ должно было бы выполняться $\mu (A \cap B) = \frac{1}{2} \mu(B)$, но из свойств меры можно вывыести, что таких измеримых множеств не существует.

Почему-то прочитал вопрос как "неизмеримые по Лебегу множества", но раз уж неизмеримые по Лебегу неизмеримы и по Жордану, то всё равно отправлю!

[DeBill]

pisareva455 в сообщении #1186448 писал(а):

Только вот в чем отличие в определении,

В определении: верхняя мера множества равна его нижней мере.
В критерии: верхняя мера границы множества равна нулю.
Разница есть (хотя, при внимательном рассмотрении - т.е., при док-ве критерия, видим, что она не шибко большая)