Ширяев,т.1,гл.1,пар.12 Марковские цепи, зад.1.

[crazy_taxi_driver]

Пусть $\xi=(\xi_0,..,\xi_n)$ - марковская цепь. Будет ли марковской цепью "обратная" последовательность $(\xi_n,..,\xi_0)$?

Будет.

Исходим из определения, для исхода $\omega=(x_0,...,x_n)$ его вероятность $p(\omega)=p_0(x_0) p_1(x_0,x_1) ... p_n(x_{n-1},x_n)$.

Рассмотрим $P(x_k=a_k|x_{k+1}=a_{k+1}...x_n=a_n)$. В числители будут суммы по $x_0,...,x_{k-1}$, в знаменателе - по $x_0,...,x_{k}$. Заметим что произведение $p(x_{k+1},x_{k+2}) ... p(x_{n-1},x_{n})$ сокращается. Можно выписать получающуюся дробь, получится нечто, ок.

Теперь $P(x_k=a_k|x_{k+1}=a_{k+1})$. Добавятся суммы по $x_{k+2},...,x_{n}$. Но по свойству переходных вероятностей они схлопнутся в 1. В итоге - то же самое что и выше.

Правильно?

[ewert]

crazy_taxi_driver в сообщении #1186241 писал(а):

Будет ли марковской цепью "обратная" последовательность $(\xi_n,..,\xi_0)$?

Естественно, будет. Нумерация-то условна. Вообще все нумерации условны. Какой-то идиотский вопрос.

Это уж не говоря о том, что вектор незнамо чего -- ни разу не цепь. Бред.

[crazy_taxi_driver]

Спасибо.

ewert в сообщении #1186243 писал(а):

Это уж не говоря о том, что вектор незнамо чего -- ни разу не цепь.

А это к чему?

[--mS--]

crazy_taxi_driver в сообщении #1186241 писал(а):

Правильно?

Ну если $x_i$ во всех вероятностях заменить на $\xi_i$, а $a_i$ --- на $x_i$, то будет правильно. Только зачем суммы?

$$\mathsf P(\xi_k=x_k,\ldots,\xi_n=x_n)=\mathsf P(\xi_k=x_k)p_{k+1}(x_k,x_{k+1})\cdot\ldots\cdot p_n(x_{n-1},x_n),$$

и всё сразу получается.