Метаметатеория

[Xaositect]

Sinoid в сообщении #1185050 писал(а):

Вот смотрите. Была теорема "Если число делится на 4, то оно делится и на 2". Записываю ее в виде импликации $A\rightarrow B$. Для этой импликации составляю таблицу истинности, в ней 4 строки. Это понятно. А вот как истолковать, скажем, вторую строку этой таблицы, как бы это сказать, в терминах, словами, понятиями исходной теоремы "Если число делится на 4, то оно делится и на 2"?

Ну как же. Эта импликация истинна для любого числа. То есть если мы возьмем какое-то число, то реализуется одна из строчек таблицы, в которой импликация истинна.
Бывают числа, которые не делятся ни на 4, ни на 2 (первая строчка), бывают числа, которые не делятся на 4, но делятся на 2 (вторая строчка), бывают числа, которые делятся на 4 и на 2 (последняя строчка). А вот чисел, которые делятся на 4, но не делятся на 2, не бывает - иначе эта импликация была бы для этих чисел ложной, и теорема была бы неверна.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1185050 писал(а):

Да нет же, вы путаете

На самом деле я просто не помню.

Sinoid в сообщении #1185050 писал(а):

А вот как истолковать, скажем, вторую строку этой таблицы, как бы это сказать, в терминах, словами, понятиями исходной теоремы "Если число делится на 4, то оно делится и на 2"?

Вторую — это $(0\to1) = 1$ или $(1\to0) = 0$? Видимо, последняя имеется в виду, но при обычном лексикографическом порядке на наборах аргументов (последние при перечислении наборов в порядке возрастания меняются чаще первых и $0<1$) она будет третьей.

[Sinoid]

Xaositect в сообщении #1185052 писал(а):

Ну как же. Эта импликация истинна для любого числа. То есть если мы возьмем какое-то число, то реализуется одна из строчек таблицы, в которой импликация истинна.
Бывают числа, которые не делятся ни на 4, ни на 2 (первая строчка), бывают числа, которые не делятся на 4, но делятся на 2 (вторая строчка), бывают числа, которые делятся на 4 и на 2 (последняя строчка). А вот чисел, которые делятся на 4, но не делятся на 2, не бывает - иначе эта импликация была бы для этих чисел ложной, и теорема была бы неверна.

я это назвал четырехвариантностью связки. Мне сказали, что такого термина не встречали, попросили дать строгое определение, термин назвали неудачным. На мои призывы к просто интуитивному пониманию строки как варианта сказали, что это нематиматично. И пр., и пр. я писал и про реализуемость строк (правда, в сознании), но эти все мысли подверглись почти полному отрицанию.

arseniiv в сообщении #1185053 писал(а):

Последний раз редактировалось arseniiv
15.01.2017, 22:53, всего редактировалось 1 раз.
Вторую — это $(0\to1) = 1$ или $(1\to0) = 0$?

Да какая разница, какая именно строка? Дело-то в принципе.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1185061 писал(а):

Да какая разница, какая именно строка? Дело-то в принципе.

Разницы нет до тех пор, пока не подразумевается, что по номеру строки можно узнать, что это за строка.

-- Пн янв 16, 2017 00:43:34 --

Пусть у нас есть гипотетически архиполезная тернарная связка $\sim\ldots\sim$ такая, что $A\sim B\sim C$ истинно только для $A=1, B=0, C=1$. Тогда у формулы $\forall x(Px\sim Qx\sim Rx)$ есть, очевидно, только такие следствия $Pc\sim Qc\sim Rc$, где термы $c$ не содержат свободных переменных, что $Pc$ истинна, $Qc$ ложна, $Rc$ истинна. Странно спрашивать, куда девались её следствия такого же вида с другой истинностью подформул — их не может быть, потому что нет других ненулевых строк в таблице истинности $\sim\ldots\sim$. Так же и с той злополучной строкой у импликации, если бы для неё был пример, это была бы не импликация, а константная $1$ от двух аргументов.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1185067 писал(а):

Sinoid в сообщении #1185061

писал(а):
Да какая разница, какая именно строка? Дело-то в принципе. Разницы нет до тех пор, пока не подразумевается, что по номеру строки можно узнать, что это за строка.

Я имел ввиду, что так и так я буду истолковывать в терминах исходной теоремы все строки таблицы истинности импликации.

arseniiv в сообщении #1185067 писал(а):

Так же и с той злополучной строкой у импликации, если бы для неё был пример,

Так я и не просил пример для каждой строки таблицы истинности импликации. Я просил прочтения каждой строки импликации на языке исходной теоремы.

Xaositect в сообщении #1185052 писал(а):

Бывают числа, которые не делятся ни на 4, ни на 2 (первая строчка),

Вы хотели сказать, что истина то, что бывают числа, которые ложь, что делятся на 4 и ложь, что делятся на 2 с соответственными коррективами для других строк?

[whitefox]

Sinoid в сообщении #1185025 писал(а):

разобраться с импликацией: все (почти) ее понимают, один я никак

Тема импликации уже обсуждалась. Вкратце можно резюмировать, что материальная импликация не является релевантной экспликацией условной связи "если $A,$ то $B$", а всего лишь удобное сокращение для формулы $\neg A\vee B.$ Использовать импликацию при построении исчисления высказываний вовсе не обязательно, вполне можно обойтись парой логических связок, например $\neg$ и $\vee,$ или даже одним штрихом Шеффера.

[Sinoid]

whitefox в сообщении #1185261 писал(а):

Тема импликации
уже обсуждалась

там понятна где-то половина.

А вот когда в повседневной жизни мы говорим "Если..., то...", это же не является импликацией? Потому что мы в этот момент думаем только об одной строке таблицы истинности, так ведь?

[Sonic86]

Sinoid в сообщении #1185281 писал(а):

А вот когда в повседневной жизни мы говорим "Если..., то...", это же не является импликацией?

Не всегда точно. Это может значить $A \vdash B$, $A, (A \to B) \vdash B$, $(A\wedge (A \to B)) \to B$ и еще много всякой всячины. Видимо, следует смириться с тем, что естественный язык неточен и каждый раз уточнять отдельно, что имеется ввиду.

Sinoid в сообщении #1185281 писал(а):

Потому что мы в этот момент думаем только об одной строке таблицы истинности, так ведь?

Вот в примере из темы

ex-math в сообщении #1015703 писал(а):

$x$ делится на $4$, следовательно, $x$ делится на $2$.

Я думаю о много о чем, но импликация там явно не на первом месте, тем более, ее строчки. Скорее я буду думать о разложении на множители, о транзитивности делимости или еще о чем-то таком, но не об импликации.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1185223 писал(а):

Так я и не просил пример для каждой строки таблицы истинности импликации. Я просил прочтения каждой строки импликации на языке исходной теоремы.

А что это значит?

[whitefox]

Sinoid в сообщении #1185281 писал(а):

А вот когда в повседневной жизни мы говорим "Если..., то...", это же не является импликацией? Потому что мы в этот момент думаем только об одной строке таблицы истинности, так ведь?

Чаще всего в этот момент мы думаем (точнее, утверждаем), что между двумя фактами существует причинно-следственная связь, например "Если идёт дождь, то асфальт мокрый". Но в классическом исчислении высказываний нет средств для выражения причинно-следственной связи, и никакая строка таблицы истинности её выразить не может. Парадокс материальной импликации.

[Sinoid]

Sonic86 в сообщении #1185296 писал(а):

Sinoid в сообщении #1185281

писал(а):
А вот когда в повседневной жизни мы говорим "Если..., то...", это же не является импликацией? Не всегда точно. Это может значить $A \vdash B$, $A, (A \to B) \vdash B$, $(A\wedge (A \to B)) \to B$ и еще много всякой всячины. Видимо, следует смириться с тем, что естественный язык неточен и каждый раз уточнять отдельно, что имеется ввиду.

Меня же по этому поводу вот здесь убеждали вот в чем:

Mikhail_K в сообщении #1118391 писал(а):

И не надо говорить, что в математике импликация означает нечто иное, чем слово "если" в обычной жизни - по-моему, то же самое

И почему-то эти слова никто не подверг критике. Мне эти слова не давали покоя, потому что я считал их правдой, но, наконец-то выяснилась полная ошибочность этих слов и одним тупиком стало меньше. Фух. считаю тему на этом исчерпанной, спасибо всем за обсуждение.

[Sonic86]

whitefox в сообщении #1185383 писал(а):

Чаще всего в этот момент мы думаем (точнее, утверждаем), что между двумя фактами существует причинно-следственная связь, например "Если идёт дождь, то асфальт мокрый". Но в классическом исчислении высказываний нет средств для выражения причинно-следственной связи, и никакая строка таблицы истинности её выразить не может. Парадокс материальной импликации.

О!!!
Слушайте, так это же круто! Так это же надо срочно осваивать!
И куча вопросов без ответа сразу: а аксиомы математических теорий релевантны? А силлогизмы релевантны? А контрапозиция? А есть ли в реальных теоремах/аксиомах нерелевантные утверждения? Или м.б. существенно нерелевантные?
А как насчет причинно-следственной связи? Есть ли расхождение между причинно-следственной связью и релевантностью?
А в ИИ пытались применить релевантную логику? Решает ли она проблему комбинаторного взрыва?
А как насчет Пуанкаре, который думал над вопросом, является ли математика завуалированным способом говорит, что "$A$ есть $A$"?
Надо Сидоренко читать. Описания в гугле мне что-то ничего не дали

(Оффтоп)

потому что я тоже помню, как меня в универе сначала удивила таблица истинности импликации

[arseniiv]

Мне кажется, причинно-следственная связь — это уже физика пошла. И для формулирования матаппарата физики никакой особенной логики пока не пригодилось. По-моему, отсюда следует ясно что: какого-то особенного понимания логики рассмотрение формализма, включающего кроме «просто импликации» ещё и «причинно-следственную импликацию», приносить не должно. Хотя их, конечно, рассматривали, но что было результатом, я не в курсе.

[whitefox]

arseniiv
Совершенно с Вами согласен. Конструктивная логика ещё как-то в математике применяется, про релевантную математику не слышал.

Sonic86
По моим наблюдениям, затруднение с пониманием импликации классического исчисления высказываний возникает у студентов именно тогда, когда они пытаются рассматривать её как причинно-следственную связь. После разъяснения, что материальная импликация это всего лишь сокращение для формулы $\neg A\vee B$ и, в принципе, не может выразить причинно-следственную связь, непонимание обычно исчезает. Сожалею, что мои слова Вы восприняли как призыв к замене в математике классической логики релевантной.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1185053 писал(а):

Вторую — это $(0\to1) = 1$ или $(1\to0) = 0$?

я имел ввиду первую.

Xaositect в сообщении #1185052 писал(а):

Ну как же. Эта импликация истинна для любого числа. То есть если мы возьмем какое-то число, то реализуется одна из строчек таблицы, в которой импликация истинна.
Бывают числа, которые не делятся ни на 4, ни на 2 (первая строчка), бывают числа, которые не делятся на 4, но делятся на 2 (вторая строчка), бывают числа, которые делятся на 4 и на 2 (последняя строчка). А вот чисел, которые делятся на 4, но не делятся на 2, не бывает - иначе эта импликация была бы для этих чисел ложной, и теорема была бы неверна.

а вот интересно, как в этом свете выглядит объяснение того, что пустое множество является подмножеством любого множества: $\varnothing\subset A$, потому что для любого $x$ реализуется одна из строчек импликации $x\in\varnothing\rightarrow x\in A$, в которой стоит 1 в результате: для элементов, не принадлежащих множеству $A$, реализуется первая строка, для элементов, принадлежащих множеству $A$, реализуется вторая строка, третья строка не реализуется ни при каком $x$, т.к. нет предметов, принадлежащих пустому множеству. ну а четвертая, хотя, глядя на таблицу реализоваться и может, на практике не реализовывается никогда, т.к. на нее после первых двух строк не остается претендентов.