значения сумм

[Kornelij]

1) $\sum\limits_{m=1}^{\infty }{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{3}^{m+n}}-1}}}$; 2) $\sum\limits_{m=1}^{\infty }{\sum\limits_{n=1, GCD(m,n)=1}^{\infty }{\frac{1}{{{3}^{m+n}}-1}}}$
т.е. вторая сумма похожа на первую, но берется только по взаимно простым $m$ и $n$.
Может у кого-то будут идеи, а то я даже не представляю, куда копать :(

[Someone]

А что Вы, собственно, хотите?

[Kornelij]

Someone в сообщении #1184424 писал(а):

А что Вы, собственно, хотите?

Идею решения, т.е. как посчитать значения этих сумм.

[Sonic86]

Вольфрамальфа выражает 1-ю сумму через дигамма-функцию, насколько я понимаю
А так оно што-то вычисляться не хочет:

$$\sum\limits_{m=1}^{\infty }\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{m+n}-1}= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k-1}{3^k-1}=...=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{(3^j-1)^2}$$

тыц

2-ая сумма после 1-й возбуждения совсем не вызывает.

[DeBill]

А вторая сумма как раз хороша:
$\Sigma_2 = \sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{\varphi (k)}{3^k - 1}$ $= \sum\limits_{k=2}^{\infty} \sum\limits_{s=1}^{\infty} \frac{\varphi (k)}{3^{ks}} =\sum\limits_{m=2}^{\infty}\frac{\sigma_m}{3^m}$,
где $\varphi$ -функция Эйлера (кол-во чисел, меньших данного, и взаимно простых с), $\sigma_m$ - сумма чисел $\varphi (k)$ по всем делителям $k$ числа $m$.
Но эта сумма в точности равна....
Ой, нельзя ж решения выкладывать...

(Оффтоп)

$m-1$. Поэтому
$\Sigma_2 = \sum\limits_{m=2}^{\infty}\frac{m-1}{3^m}=\frac{1}{9}\sum\limits_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{9}(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n) '= \frac{1}{9}(\frac{1}{1-x})' = \frac{1}{9}\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{4}$
(тут было $x=\frac{1}{3}$)

[Kornelij]

DeBill в сообщении #1184465 писал(а):

А вторая сумма как раз хороша...

Да, именно так! Спасибо :)
Странно, что первая сумма такая "никакая"...

[Kornelij]

DeBill в сообщении #1184465 писал(а):

А вторая сумма как раз хороша

Туплю и не могу понять, куда делась -1 в знаменателе второй суммы?

[DeBill]

Kornelij
Вынесли $3^k$ из знаменателя, и разложили как сумму геометрической прогрессии со знаменателем $\frac{1}{3^k}$