Ряд с рациональными членами

[sergei1961]

Услышал, что если ряд из рациональных членов имеет суммой рациональное число, то есть ограничения на убывания членов ряда. Кто-то поможет, действительно есть такие теоремы?

[grizzly]

А стандартный приём доказательства иррациональности числа $e$ (как в ру-вики) не вдохновляет? Там как раз за счёт скорости убывания членов ряда получается противоречие. И если скорость убывания будет не меньше, то рассуждения практически не изменятся. Про точные теоремы не слышал. Ясно, что степенная скорость убывания не достаточно плоха.

[sergei1961]

Хотелось бы увидеть ссылку на такую теорему: если ряд из рациональных чисел сходится к рациональному числу, то его общий член удовлетворяет такой оценке на рост:...

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1184930 писал(а):

Хотелось бы увидеть ссылку на такую теорему: если ряд из рациональных чисел сходится к рациональному числу, то его общий член удовлетворяет такой оценке на рост:...

Такой теоремы нет и быть не может. И в предыдущем своём сообщении я был не прав -- там причина не просто в скорости убывания.

Чтобы убедиться, можете рассмотреть такой контрпример: возьмите сколь угодно быстро убывающую монотонную последовательность рациональных чисел $\{a_1, a_2,...\}$ и рассмотрите ряд, элементами которого являются положительные рациональные числа $b_1,b_2,...$, где $b_i=a_i-a_{i-1}$. Сумма этого ряда равна рациональному числу $a_1$ (считаем, что сходимость обеспечена скоростью убывания).

[sergei1961]

grizzly - спасибо. Коллега доказывал с пеной у рта, а на меня какое-то затмение нашло. Конечно, Вы правы, только надо первые два члена оставить как есть, а разности брать по этой формуле с третьего.

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1184987 писал(а):

а разности брать по этой формуле с третьего

там описка: $b_i=a_i-a_{i+1}$, так лучше -- тогда не нужно никаких сдвигов и все $b_i$ положительны.