2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 21:15 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Или: если сложить оба ряда из правой части, то получим ряд, получающийся из исходного группировкой (по два)

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Someone в сообщении #1183449 писал(а):
В рассматриваемой ситуации с разбиением ряда на сумму двух рядов перемещения слагаемых не происходит: исходный ряд получается из двух рядов не перемещением членов, а их "смешиванием": часть берётся из одного ряда, часть — из другого, но порядок слагаемых, относящихся к одному ряду, не меняется.

А вот это, наверное, именно то, что мне было нужно. Т.е. в теореме Римана говорится о никак не упорядоченной в общем случае перестановке членов ряда, а у меня перестановка упорядоченная. Некоторые члены ряда (которых бесконечно много) переставляются "как единое целое" при "неподвижных" остальных. Об этом я не подумал. Спасибо, Someone!

Теперь осталось только разобраться с примером, когда ряд разбился в сумму трёх расходящихся. Но это я уж сам додумаю. Есть у меня подозрение, что расходимость эта появилась в результате моего неаккуратно обращения с рядами.

-- 10.01.2017, 21:34 --

Да, точно. С тем рядом, о котором я говорил выше, вообще фантастическая история вышла. Я его очень давно считал - сейчас проверил (даже два раза). Три ряда, на которые разбился исходный ряд, были сходящимися. Расходимости появились, когда я вычислял сходящийся интеграл, разбивая подынтегральную дробь на простейшие. Так что этот вопрос не в кассу. Стало быть, вопрос исчерпан.
Всем большое спасибо за участие!

P.S. grizzly, Вы были правы. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 22:52 


25/08/11

1074
DeBill - по поводу перестановок членов ряда в пространствах Банаха и тд. Есть такой математик Кадец, он, если я не путаю, этим занимался, кажется, есть даже книги.
Да, на LG есть пара книг по теме на английском.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Существенные продвижения в изучении свойств перестановок членов рядов в банаховых пространствах получил Д.В. Печерский. В частности, на его результаты опирался С.М. Воронин, получивший уникальный результат об универсальности дзета-функции Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 08:47 


25/08/11

1074
grizzly спасибо за интересные и неожиданные ссылки!
По случаю: есть малоизвестный очень мощный метод суммирования рядов в явном виде, основанный на использовании преобразования Меллина и функции Римана. Он разработан математиком В.С.Рыко. Он работал в Минске, а в конце жизни у нас в провинции. К сожалению, его публикации - это по существу монографии, состоящие из теоретической части и обширных таблиц, были только депонированы и малодоступны. Если интересно, могу дать ссылки.

-- 11.01.2017, 09:58 --

Ссылки на книги Кадеца. Кстати, основная теорема о перестановках в ряде в пространстве Банаха называется его именем, если я не путаю. Он изначально из Харькова.
1. Kadets, V. M., Kadets M.I., Rearrangements of series in Banach spaces. AMS, 1991.
2. Kadets, V. M., Kadets M.I., Series in Banach spaces : conditional and unconditional convergence. Birkhäuser , 1997.
Второй соавтор - наверное родственник, не знаю.

-- 11.01.2017, 10:00 --

Д.В.Печерский по ссылке - мне кажется, что это немного другая тематика-ряды со случайной расстановкой знаков, идущая от Кахана. Но я в этом не специалист, кто знает лучше, может уточнит.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
[о В.С.Рыко.] К сожалению, его публикации - [...] малодоступны. Если интересно, могу дать ссылки.
Посмотрел на mathnet (там имеется несколько работ) -- интересно. Если есть другие -- конечно, оставьте ссылки. Спасибо.
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
Д.В.Печерский по ссылке - мне кажется, что это немного другая тематика-ряды со случайной расстановкой знаков
Вот уж нет, Вы просто первую страницу не до конца посмотрели :) А результат неожиданный и интересный. Спасибо, Brukvalub.
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
Но я в этом не специалист, кто знает лучше, может уточнит.
Так ведь этот "кто-то" уже уточнил :D

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 12:18 


25/08/11

1074
У меня есть такой том: В.С.Рыко. Метод суммирования и улучшения сходимости функциональных рядов. Депонировано Вологда, 1988. 183 с., с таблицами.
Постараюсь со временем сделать и выложить для людей, не скоро.
Я звонил в Вологодский пед, где он заканчивал работать, обещали помочь с другими публикациями, но не помогли.
Есть ещё деп: Дискретные преобразования Фурье (теория и таблицы формул), Вологда, 1984, 80 с.
Кажется есть ещё (статьи не цитирую, они на матнете), но сразу не найду.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Metford в сообщении #1183379 писал(а):
Лично мне этот метод совсем не нравится (мне требуется немало времени, чтобы увидеть нужное преобразование/разложение), хотя не поспоришь, он работает.

Это всего лишь группировка с последующим изменение порядка суммирования (если законно): $$\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limits^m_{n=0}a_{kn}=\sum\limits^m_{n=0}\sum\limits_{k\geqslant0}a_{kn}$$
Вот, что Вы фактически выполнили:
  • сгруппировали члены ряда по два$$\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{[k/2]}}{k+a}=\sum\limits_{k\geqslant0}\left(\frac{(-1)^k}{2k+a}+\frac{(-1)^k}{2k+1+a}\right)=\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limins^1_{n=0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}$$
  • изменили порядок суммирования$$\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limins^1_{n=0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}=\sum\limins^1_{n=0}\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}=\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+a}+\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+1+a}$$в данном случае это законно так как все ряды сходятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
По случаю: есть малоизвестный очень мощный метод суммирования рядов в явном виде, основанный на использовании преобразования Меллина и функции Римана.

Само по себе применение интегральных преобразований для меня не новость. Например, во всех обсуждаемых здесь примерах я использовал при суммировании преобразование Лапласа. Я его вообще раньше эксплуатировал в хвост и в гриву.
Конечно, интересно было бы посмотреть на применение других преобразований.

whitefox в сообщении #1183611 писал(а):
изменили порядок суммирования

Фактически вопрос заключался именно в законности изменения порядка суммирования - это я изначально плохо вопрос сформулировал. К счастью, это недоразумение прояснилось. А то знаете, было какое-то подвешенное состояние: вроде бы ряд отсуммировался, но вдруг в другом случае что-нибудь пошло бы не так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group