2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 18:41 
Аватара пользователя


15/11/15
485
Недавно случайно в голову пришла такая мысль: пусть за $x_a$ обозначена последняя десятичная запись числа $a!$. Будет ли число $0,x_1x_2x_3...$ иррациональным? Доказать иррациональность мне не удается, хотя идея очень правдоподобна, так как никаких зацикливаний я не обнаружил. Известна ли такая задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 18:48 
Аватара пользователя


21/09/12
1008
Конечное число членов даёт вполне конечную десятичную дробь - в отличие от $1/3$ даже.
А вопрос, будет ли бесконечная последовательность иррациональной, смысла не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 18:50 
Аватара пользователя


16/07/14
813
Москва
Что такое "последняя десятичная запись"?
Если просто "десятичная запись", а наше число равно $0,1126241207205040...$, то иррационально - достаточно посмотреть на то, какой длины бывают идущие подряд подпоследовательности из одних нулей (для рациональных чисел либо конечной, либо число является десятично-рациональным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
5604
Я понял вопрос ТС так:
берём последовательность факториалов:
$$\begin{align*}
1! &= 1\\
2! &= 2\\
3! &= 6 \\
4! &= 24\\
5! &= 120\\ 
... \\
n! &=  ...\\
...
\end{align*}$$

Теперь собираем последние цифры и конструируем из них последовательность. О том, что эта последовательность равна именно 0.1264 (0) ТС, похоже, догадывается, но не признаётся:
Rusit8800 в сообщении #1183372 писал(а):
так как никаких зацикливаний я не обнаружил.

Или я понял неправильно, но тогда TS пусть обьяснит, что такое число $a$, откуда оно, и с чем его едять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3324
Неужели так много разумных вариантов? Или первая цифра или последняя ненулевая. С первой всё просто, а вот с последней тоже, наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 13:00 
Заслуженный участник


12/09/10
1459
grizzly в сообщении #1183466 писал(а):
а вот с последней тоже, наверное


Это задача 3.14 из сборника Сергеева "Зарубежные математические олимпиады". Достаточно содержательная задача для школьника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 14:49 
Аватара пользователя


21/09/12
1008
Cash
Задача по Вашей ссылке это:
Пусть $h_n$ последняя ненулевая цифра $n!$. Доказать, что число $0,h_1h_2h_3h_4...$ иррациональное.
С задачей ТС у неё мало общего. До этого большей частью обсуждали, как понять задачу Rusit8800.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3324
atlakatl в сообщении #1183624 писал(а):
С задачей ТС у неё мало общего. До этого большей частью обсуждали, как понять задачу Rusit8800.
Ну так сообщение Cash и было развитием этого обсуждения. Не самым худшим, имхо. (Чувствовал я, что с последней цифрой всё не так очевидно :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 15:27 
Заслуженный участник


12/09/10
1459
atlakatl в сообщении #1183624 писал(а):
С задачей ТС у неё мало общего.

Вы поняли точно, что хотел ТС? Ваша телепатия тогда сильнее моей.
Я и не пытался понимать. Отвечал grizzly на его сообщение. И здесь я уверен, что он подразумевал именно эту задачу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Anton_Peplov, gris


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group