Интересный ряд

[loser228]

Задача: исследовать ряд на сходимость: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(\cos n)^2}{\sqrt{n}}$. Думаю, что где-то рядом ходят признаки Абеля и Дирихле . пытался делать по Дирихле , взяв скажем $\frac{\cos n}{n}$ как последовательность, стремящуюся к нулю, но она не является монотонной. Вот в раздумьях, может на что-то дополнительно умножить или разделить.

[DeBill]

loser228 в сообщении #1183332 писал(а):

где-то рядом ходят признаки Абеля и Дирихле .

Точно, они и ходют.
Но: хороши они только для условной сходимости; для рядов с полож. членами - толку от них никакого.
С другой стороны, есть еще такая штука - формулы понижения называются....

[mihaild]

Из $\cos n$ и $\cos(n+1)$ хотя бы один по модулю больше некоторого $\varepsilon > 0$.

[loser228]

DeBill в сообщении #1183338 писал(а):

loser228 в сообщении #1183332 писал(а):

где-то рядом ходят признаки Абеля и Дирихле .

Точно, они и ходют.
Но: хороши они только для условной сходимости; для рядов с полож. членами - толку от них никакого.
С другой стороны, есть еще такая штука - формулы понижения называются....

Тоже думал об этом, тогда, преобразовав, получим $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1+\cos 2n}{2 \sqrt{n}}$. Если расписать как сумму двух рядов, то один из них получится расходящихся ...

[DeBill]

loser228 в сообщении #1183342 писал(а):

один из них получится расходящихс

Да. Но этого мало: надо еще что второй - сходящийся...
По mihaild получается быстрее. Но, по жизни, обеими (обоями?) метОдами владеть надо...

[loser228]

Что-то я пока ни одного способа не осознал как тогда получить два сходящихся ряда ?

[mihaild]

Что вы можете сказать о сходимости ряда $\sum a_n + b_n$, если $\sum a_n$ сходится, а $\sum b_n$ нет?

[loser228]

Получается, что ряд

$$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n +b_n)$$$

расходится (путём доказательства от противного).

А, похоже, догадался. То есть исходный ряд расписываем в виде суммы двух рядов $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{n}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2n}{2\sqrt{n}}$, где первый расходится, а второй сходится по признаку Дирихле (любая конечная сумма $\cos 2n$ ограничена, а последовательность $\frac{1}{2\sqrt{n}}$ монотонно убывает и сходится к 0. Тогда имеем, что исходный ряд расходится.

[sergei1961]

Если рассмотреть в паре два ряда, с синусами и косинусами?

[sergei1961]

Например, так. Ряд из квадрата косинуса минус квадрат синуса очевидно сходится по Дирихле. Значит оба эти ряда или одновременно сходятся, или одновременно расходятся. Но сходится они не могут, так как их сумма расходится. Значит-оба расходятся.
Вроде бы доказательство получается из ничего. Всё правильно?

[Cash]

Как это из ничего?
сходимость ряда $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2n}{\sqrt{n}}$
и расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} $
Ровно то же самое, что и двумя постами выше.

[sergei1961]

Cash-согласен.