Численное решение уравнения переноса

[Vanya415]

Рассматривается вот такое уравнение $\frac{\partial U}{\partial t}+a\frac{\partial U}{\partial x}=0$.
Для однозначного решения данного уравнения необходимо задать начальное условие типа $U(x,0)=f(x)$. Начну издалека...
Я правильно понимаю, что наиболее полно задача будет выглядеть, если добавить краевое условие $U(0,t)=g(t)$ ?
И так как у нас тут первые производные, то можно задать только одно краевое условие?

[worm2]

Надеюсь, $a$ здесь — ненулевая константа?
Тогда легко видеть, что $x$ и $t$ в этом уравнении равноправны.
Так что можно задать $U(x,0)$, а можно $U(0,t)$, в обоих случаях задача корректна. Но оба одновременно задавать нельзя!

А можно, например, даже так: $U(x,0)$ при $x \geqslant 0$ и $U(0,t)$ при $t \geqslant 0$, но это сработает только при $a > 0$. Если у вас получится понять, почему, это будет большим шагом вперёд в освоении уравнения переноса. Здесь понадобится знание общего решения уравнения, и немного геометрического (или физического) воображения.

-- Пт дек 23, 2016 21:14:46 --

Кажется, я написал не совсем то, про что спрашивалось...

Давайте с чего-нибудь полегче начнём.

$$\frac{\partial U} {\partial x} = f(x),$$

где $U$ — функция двух аргументов, $U = U(x,t)$.
Поскольку уравнение "неполноценное", в нём нет никакого $t$, то можно для каждого $t$ решить его отдельно, т.е. получается для каждого $t$ свой обыкновенный дифур (для функции одной переменной $x$), который можно решать независимо от остальных. Что нужно для решения обыкновенного дифура 1-го порядка? Правильно, одно начальное значение, например, в точке $x=0$. Множество таких независимых начальных значений для всех $t$ будет $U(0,t)$ — функцией от $t$, и она может быть совершенно любой, даже не непрерывной. То есть для уравнения в частных производных 1-го порядка для функции от двух аргументов, нужно задать начальное условие на одной прямой. Если бы уравнение было 2-го порядка, то могло понадобиться 2 прямые, или лучше, опять же по аналогии с обыкновенными дифурами, поставить задачу Коши: условие на значения на этой прямой, плюс условие на производную по $x$ на той же прямой (в этом случае у обыкновенных дифуров есть теорема существования, так и у нашего "неполноценного" дифура в частных производных тоже будет аналогичная теорема существования).

[Vanya415]

Да, здесь $a > 0$

Ээ...Говоря про

Цитата:

$U(x,0)$ при $x \geqslant 0$ и $U(0,t)$ при $t \geqslant 0$

, наверно имелось ввиду ИЛИ? То есть либо одно, либо другое?

[Pphantom]

Vanya415 в сообщении #1183034 писал(а):

наверно имелось ввиду ИЛИ? То есть либо одно, либо другое?

Нет, именно вместе. В самом деле, подумайте, что именно описывает Ваше уравнение с $a>0$, тогда будет понятно, почему эти два условия не только могут, но и должны использоваться совместно.

[Vanya415]

Понятно, согласен. Тогда следующее... При численном решении область должна быть ограничена. Для данного уравнения с одной стороны задаётся краевое условие, а с другой стороны ничего не задаётся?

[Pphantom]

Ну где-то, конечно, расчетная сетка должна закончиться, но каких-то дополнительных условий на этой границе не появится.