Никаких минусов и никаких студентов

[Rak so dna]

Записать выражение $x^3+y^3+z^3-2xyz$, где $x$, $y$, $z$ положительны, используя только сложение (знак "+"), умножение (знак "*"), деление (знак "/") и возведение в степень (знак "^") переменных $x$, $y$ и $z$

[wrest]

Если я правильно закрыл и раскрыл все скобки,то получается так
$x^3+y^3+z^3-2xyz=(x+y+z)^3+3(x^2y+xy^2+x^2z+zx^2+y^2z+z^2y)+4xyz$

[Rak so dna]

wrest а Вы подставьте $x=1$, $y=1$ и $z=1$ в Ваше равенство.

[wrest]

Да уж, всё не то...

(Оффтоп)

На самом деле
$x^3+y^3+z^3-2xyz=(x+y+z)^3-3(x^2y+xy^2+x^2z+zx^2+y^2z+z^2y)-8xyz$
Куда деваться от минусов...

[DeBill]

Аа, я понЯл, что от нас хотЯт: надо этот многочлен представить в виде отношения двух многочленов с положительными коэф-тами...
Ну, можно так:
$(x^3 + y^3 + z^3)^6 - (2xyz)^6$: он делится на заданный, а все к-ты (и его, и частного) положительны, ибо
$\frac{6!}{2!2!2!}> 2^6$...

(Оффтоп)

А есть такая известная задача: показать, что многочлен, положительный на положительной полуоси (например, $x^2 - 1.999975x +1$), есть частное двух многочленов с положительными к-тами (и какой наименьшей степени? Неужели $100\pi$?)

[Rak so dna]

DeBill круто! То что я и хотел (неужели я так коряво выражаюсь?? ). Ваше решение подходит (мое решение меньшей степени: $\frac{P^{10}}{P^7}$, Ваше $\frac{P^{18}}{P^{15}}$, если интересно, выпишу ). Попробуйте вот такое: $2(x^3+y^3+z^3)-5xyz$. Для него у меня есть уродливое решение, может Вы найдете красивое!

DeBill в сообщении #1183049 писал(а):

А есть такая известная задача: показать, что многочлен, положительный на положительной полуоси (например, $x^2 - 1.999975x +1$), есть частное двух многочленов с положительными к-тами (и какой наименьшей степени? Неужели $100\pi$?)

Вот как раз мой вопрос!!! Совсем недавно пришел к нему самостоятельно Есть ли решение? Для нескольких переменных?

Ну и вот
$x^2 - 1.9x +1=$$\frac{159210000x^{10}+5731759x^6+161000000}{159210000x^8+302499000x^7+415538100x^6+487023390x^5+515538100x^4+492499000x^3+420210000x^2+305900000x+161000000}$ Понятно, что дальше только хуже

[DeBill]

Rak so dna в сообщении #1183130 писал(а):

Есть ли решение? Для нескольких переменных?

Для одной переменной - есть, и даже с точной оценкой (для квадратного трехчлена типа того, что я нарисовал: $100\pi$ - наилучшая), для многих переменных - не знаю: видимо, это будет новая задача.
Про $\frac{5}{2}$: можно даже заменить на "3": поскольку соответствующий "триноминальный" к-т растет медленнее степени тройки (формула Стирлинга), то (при достаточно большом числе "6") должно получиться...

[Rak so dna]

DeBill в сообщении #1183155 писал(а):

Для одной переменной - есть, и даже с точной оценкой

Можно ссылочку?

DeBill в сообщении #1183155 писал(а):

Про $\frac{5}{2}$: можно даже заменить на "3"

Вот тут пожалуйста поподробнее... Ваша формула вроде проходит: $(2(x^3+y^3+z^3))^{18}-(5xyz)^{18}$ (самое интересное, что со степенью $26$ - уже не проходит), но как $\frac{5}{2}$ можно заменить на $3$, если $x^3+y^3+z^3-3xyz$ обращается в $0$ при $x=y=z$ ?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Rak so dna в сообщении #1183130 писал(а):

То что я и хотел (неужели я так коряво выражаюсь??

Я, кстати, сразу понял, что без использования деления тут ничего не сделаешь, но искать нужные многочлены было лень.

wrest в сообщении #1183004 писал(а):

Если я правильно закрыл и раскрыл все скобки,то получается так
$x^3+y^3+z^3-2xyz=(x+y+z)^3+3(x^2y+xy^2+x^2z+zx^2+y^2z+z^2y)+4xyz$

И вот тут, честно говоря, тоже берёт некоторая задумчивость: неужели сразу не очевидно, что суммы и произведения многочленов с положительными коэффициентами — многочлены с положительными коэффициентами?

[sergei1961]

В книге Харди Литтльвуд Пойа Неравенства в первой главе доказывается, что положительная при положительных аргументах форма есть частное двух форм с положительными коэффициентами, формами они называют многочлены. Для более общего многочлена, для которого приведённый в начале является частным случаем, приведено явное построение. Посмотрите.
Это вариация на тему теорем Гильберта и Артина о суммах квадратов.

-- 10.01.2017, 00:52 --

Если кратко, то большая наука говорит, что исходную форму надо умножать последовательно на $(x+y+z)^n$ для $n=1,2,3...$ , и рано или поздно гарантировано все коэффициенты произведения будут положительны. Тогда исходный многочлен будет очевидно частным двух многочленов с положительными коэффициентами.
Вот бы кто реально посчитал!

-- 10.01.2017, 00:58 --

Если я понял правильно пример из этой книги, то для исходного примера гарантированно достаточно умножить на $(x+y+z)^{27}$.

[DeBill]

Rak so dna в сообщении #1183165 писал(а):

Вот тут пожалуйста поподробнее...

Уй, при оценке к-та по Стирлингу, $\sqrt{2\pi n}$ попал не туда, блин. Правильно:
$\frac{(3n)!}{n!\cdot n!\cdot n!} \sim \frac{3^n \cdot \sqrt{3}}{2\pi n}$
Т.е., для любой константы, меньшей 3, способ проходит; но при "3" - нет, как это и видно из Вашего замечания про обнуление...
Пардону прошу за лажу....

[Rak so dna]

sergei1961 прочитал доказательство, это полностью исчерпывает вопрос. Спасибо! (ну разве что решения далеко не минимальные). Итак, если кому интересно, книжным способом положительные многочлены получаются:

$(x^3+y^3+z^3-2xyz)(x+y+z)^{22}$

$(x^2-1.9x+1)(x+1)^{37}$

[sergei1961]

Да, хорошо, что всё сказал по делу. Там есть достаточно точная оценка на степень суммы, достаточная для положительности коэффициентов. Потом она огрубляется до худшей, зато совсем простой, на которую я ссылался. Грубая оценка гарантирует результат, но завышает степень, в реальности положительность получается для меньших степеней, что Вы и подтверждаете вычислениями.

[wrest]

Так где ответ-то? Если задача предполагается олимпиадная, должен быть наверное ответ.
Предполагается, что решающий станет возводить сумму трех переменных в 22-ю степень (или минимально как я понял, в 6-ю), умножать, делить и т.п.?

В первой формулировке задачи надо было за час закончить набор курсовой, а хватит часа всё это сделать (посчитать и набрать)? Сколько символов будет в ответе, исходя из того что нельзя пользоваться другими буквами и знаками кроме плюса, умножения, деления и возведения в степень? Кстати, получается, и скобками нельзя пользоваться тогда и надо будет любые скобки раскрыть...

arseniiv в сообщении #1183170 писал(а):

неужели сразу не очевидно, что суммы и произведения многочленов с положительными коэффициентами — многочлены с положительными коэффициентами?

Да, я сначала записал себе $\dfrac{a^3+b^3}{a+b}=a^2-ab+b^2$, потом переписал в виде $a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab$ и потом забыл о чем задача