Оптика. Сферическое зеркало

[Stensen]

Всех с новым годом! Год новый, а вопросы старые. Уважаемые проясните задачу. Найти радиус $R$ вогнутого сферического зеркала, находящегося на расстоянии $a=2$ м от лица, если человек видит в нем свое изображение в $n=1,5$ раза большим, чем в плоском зеркале, находящимся на том же расстоянии?
Изображение в плоском зеркале совпадает по размерам с предметом (объектом) поэтому изображение в сферическом из условия больше в $1,5$ раза чем предмет. Поэтому:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \Gamma = \frac{f}{d} = n = 1,5\\ \frac{1}{F}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d} \\ \end{array} \right.$ , где: $d=a$, отсюда: $F=\frac{na}{n+1}$ и $R=2F$. Но ответ к задаче: $R=2na$. Подскажите где у меня ошибка?

[Munin]

Не "изображение в полтора раза больше, чем предмет", а "человек видит изображение в полтора раза большим, чем предмет". То есть, если изображение больше, но и дальше, то получится не полтора раза. Понятна идея?

[Stensen]

Munin в сообщении #1181392 писал(а):

Не "изображение в полтора раза больше, чем предмет", а "человек видит изображение в полтора раза большим, чем предмет". То есть, если изображение больше, но и дальше, то получится не полтора раза. Понятна идея?

Правильно ли я понимаю видимость увеличенного изображения человеком? $O$ - центр зеркала, глаз находится в точке $S$, нога - в точке $P$, мнимое изображение ноги человек видит в точке $P^*$, а глаза - в точке $S^*$ - это луч, отраженный от зеркала под тем же углом. Из подобия $\Delta PGS \sim \Delta P^*GS^*$ получим: $\frac{h}{H}=\frac{a}{f}=\frac{1}{n}$.

[Munin]

А где у вас вообще "плоское зеркало, находящееся на том же расстоянии"?

[Stensen]

Munin в сообщении #1182366 писал(а):

А где у вас вообще "плоское зеркало, находящееся на том же расстоянии"?

Вот плоское зеркало:

[Munin]

Теперь у вас буква $f$ несёт два разных смысла, а две буквы $a$ и $d$ - один смысл.

В общем, $H/(a+f)$ (по верхнему рисунку) - это угловой размер, под которым человек видит своё отражение в сфере. а $h/(d+f)$ (по нижнему) - это --"--"-- в плоскости. Они и должны отличаться в полтора раза.

[Stensen]

Спасибо, вроде разобрался. Пусть: $\varphi_{fl}, \, \varphi_c$ - углы наблюдения в плоском и в кривом зеркале соответственно. $H, h, f$ - размер изображения, предмета и расстояние до изображения в кривом зеркале, соответственно, тогда:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{F}=\frac{1}{a}-\frac{1}{f}\\ \\ \Gamma = \frac{H}{h}=\frac{f}{a} \\ \\ \frac{\varphi_{fl}}{\varphi_c}= n \\ \\ \varphi_{fl}=\frac{h}{a+a}\\ \\ \varphi_c=\frac{H}{a+f} \end{array} \right.$$

.

Решил и получил: $2F=\frac{an}{n-1}$ - расстояние до оптического центра зеркала. Все ли верно? С ответом опять не сошлось,но похоже кривой задачник.

[Munin]

Ну вот, теперь мне проверять надо...

[Xey]

Munin в сообщении #1182537 писал(а):

Ну вот, теперь мне проверять надо...

Лучше бы дать какой-нибудь совет.
Я бы посоветовал разобраться в обозначениях величин входящих в формулу линзы , и применить ее не задумываясь.
Или , из геометрии найти, при каком радиусе зеркала угол, под которым человек видит своё изображение ( из точки$p$) , будет в полтора раза больше , чем в плоском зеркале.

[Xey]

Задачка не обычная , из-за того что задано видимое увеличение (угол под которым видно мнимое изображение в полтора раза больше, чем в плоском зеркале).
Я бы попробовал построить лучи, и просмотреть под каким углом видно мнимое изображение из точки А (потому, что она на оси ).
На приведенной картинке задачке соответствует правый рисунок (расстояние от предмета до зеркала меньше фокуса зеркала). Можно добавить луч BP (как он проходит видно на левом рисунке) .

[Gleb1964]

Munin в сообщении #1182537 писал(а):

Ну вот, теперь мне проверять надо...

да неправильно. Не знаю, как сюда картинку вставить, но ни одна из ранее опубликованных картинок не отображает задачу правильно. А, следовательно, нет и правильного решения.
https://goo.gl/photos/TfwCGTVxVvDNidga7

[miflin]

Stensen в сообщении #1182473 писал(а):

Решил и получил: $2F=\frac{an}{n-1}$ - расстояние до оптического центра зеркала. Все ли верно?

Верно. Это решение для случая мнимого изображения в вогнутом зеркале.
Для действительного изображения (его тоже можно наблюдать без экрана, оно будет перевернутым) тоже существует решение:
$\displaystyle 2F=\frac{an}{n+1}$

[Gleb1964]

Вот графическое решение. Решение получается $R=2F=\frac{na}{n-1}$. Значит, правильное решение было.

[Xey]

Gleb1964 в сообщении #1182979 писал(а):

Вот графическое решение.

Не все понятно.
Обычно для построения хода лучей используют 2-3 луча идущих:
1 параллельно главной оси (после зеркала идет через его фокус)
2 через фокус зеркала (после зеркала идет параллельно главной оси)
3 через точку пересечения главной оси с зеркалом ( после зеркала идет без отклонения)
4 луч идущий параллельно лучу по п.3 (пересекается с ним в фокальной плоскости).

[Gleb1964]

Xey
Предмет высотой $h$ наблюдается в плоском зеркале (сиреневый луч) с угловым размером $\frac{h}{2a}$ . В сферическом зеркале угловой размер, по условию в $n$ раз больше $\frac{nh}{2a}$ (синий луч). Тангенсы углов для упрощения опускаю. Ход реальных лучей отображен на левой стороне сплошными линиями, мнимый ход лучей, в продолжение за зеркало, показан штриховыми линиями.
На рисунке есть два параллельных луча, позволяющих построить фокус зеркала (здесь развертка отражений в зеркале, поэтому ход лучей как через линзу). Один луч идет на увеличенную точку предмета, пересекая зеркало на высоте $\frac{nh}{2}$, второй луч проведен параллельно первому через вершину зеркала на оптической оси. Первый луч после преломляется/отражается на оптическом элементе и попадает на точку объекта высотой $h$, его уравнение $y=\frac{h-0.5nh}{a}x+\frac{nh}{2}$. Второй луч (через вершину) имеет уравнение $y=\frac{nh}{2a}x$ (кстати, заметил на рисунке ошибку - забыл делить на a, но результат я выводил по правильной формуле). Их пересечение дает фокусное расстояние оптической поверхности.