Как обозначать «некоторые» и «все» при описании множеств?

[ede]

Множества можно задавать в математической нотации как $\left\lbrace{x}: P(x)\right\rbrace$, где $P(x)$ — условие, которому должен удовлетворять каждый элемент множества.

Рассмотрим ситуацию, когда $P(x)$ имеет вид $x=f(y), y\in{Y}$. Например, зададим множество ${E}=\left\lbrace{2n}:n\in\mathbb{N}\right\rbrace$, то есть множество чётных натуральных чисел.

Как в такой нотации различать два случая:

1. $E$ есть множество некоторых чисел вида $2n$, то есть мы хотим сказать: «каждый элемент $E$ имеет вид $2n$», и при этом не обязательно в $E$ входят все чётные натуральные числа;
2. $E$ есть множество всех чисел вида $2n$?

Какой из этих случаев описывает исходная формула ${E}=\left\lbrace{2n}:n\in\mathbb{N}\right\rbrace$ и что в ней изменить, чтобы она описывала другой случай?

[Xaositect]

$\{x : P(x)\}$ это множество всех объектов, удовлетворяющих условию $P$.
Если вы хотите рассмотреть какое-то множество $E$ некоторых объектов, удовлетворяющих $P$, можно писать $E \subseteq \{x : P(x)\}$.

[Munin]

Маленький хинт: математики не пишут $\left\lbrace 2n \colon n\in\mathbb{N}\right\rbrace,$ а пишут просто $2\mathbb{N}.$ Это означает, что умножение на 2 применяется к каждому элементу множества $\mathbb{N}.$

[knizhnik]

Это означает, что $2\mathbb{N}$ нужно определить.

[arseniiv]

Во-первых, это широко используемое обозначение (и вы это знаете). Во-вторых, определение буквально рядом же:

Munin в сообщении #1179945 писал(а):

$\left\lbrace 2n \colon n\in\mathbb{N}\right\rbrace,$

и если вы думаете, что ТС чего-то не поймёт, то никто никуда не торопится, и это бы в конечном итоге выяснилось и исправилось.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1180068 писал(а):

Во-вторых, определение буквально рядом же

У вас цитата сбилась:

Munin в сообщении #1179945 писал(а):

умножение на 2 применяется к каждому элементу множества $\mathbb{N}.$

[arseniiv]

В любом случае, можно было бы написать «[когда $A$ — полукольцо и $n\in A$,] $nA$ означает [подполукольцо] $\{na : a\in A\}$».

-- Пн дек 26, 2016 03:13:11 --

Что, по идее, довольно просто абстрагируется из $2\mathbb N \equiv \{2n : n\in\mathbb N\}$.

[Munin]

Все подобные уточнения скучны, и не работают в расширенном смысле, например, когда хочется написать множество нечётных чисел как $2\mathbb{Z}+1.$ А если знать смысл выражения $f(M),$ где $M$ - множество, то всё сразу и навсегда понятно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Хм, ну вот о $f(M)$ я как-то не думал, и возможно не зря, потому что $\mathbb N^2$ уже так нельзя парсить. В любом случае, я не считаю, что у вас недостаточно написано, и что я сцитировал совершенно не то.

[popolznev]

По-моему, ТС упустил один момент: запись $\{2n: n \in \mathbb{N} \}$ не является записью вида $\{x: P(x)\}$.

[Munin]

Это просто сокращение от записи $\left\lbrace x\colon x=2n, n\in\mathbb{N}\right\rbrace.$

[popolznev]

Munin, мы-то с вами понимаем, что означает эта запись. Но ваша запись - это "вольность речи". Чтобы она приобрела вид $\{x: P(x)\}$, ее придется записать так: $\{x:\ \exists n \in \mathbb{N}\ \left(x=2n\right)\}$.

Я думаю, что постановка вопроса топикстартером требует такого занудства. Его как раз смутили обычные для математиков вольности в обозначениях.

[Munin]

popolznev в сообщении #1182734 писал(а):

Но ваша запись - это "вольность речи".

Да, вы правы.