Правило моментов

[olegoleg]

Куб лежит на наклонной плоскости с углом $a$. Длина ребра $l$. Почему для него не выполняется правило моментов?
2 закон Ньютона:
1. $- F_{tr} + mg\sin a = 0$
2. $ N - mg\cos a = 0 $
Уравнение моментов:
3. $N \frac{l}{2} + mg\sin a \frac{l}{2} - mg\cos a \frac{l}{2}}= 0$
Вывод. Из 2, 3 следует
$mg\sin a = 0$
$a=0$
Но ведь это не верно, потому что $a$ может быть от 0 до 45 и переворота не будет (Касьянов 10 класс).

[iifat]

Вы там моменты неправильно считаете. Вот почему у вас там в уравнении моментов сила трения отсутствует, а $mg\sin\alpha$ присутствует?

[olegoleg]

Момент считаем относительно самой нижней вершины куба (ось вращения). Сила трения направлена вдоль нижней грани и её плечо = 0. Плечо $mg \sin a$ равно $ \frac{l}{2}$ (точка приложения - центр тяжести).

[iifat]

Подозреваю, силу реакции опоры нельзя предполагать как приложенную к середине основания. Очевидно, что она размазана по всему основанию и в сумме определяется вашим вторым уравнением; а вот распределение момента может меняться.

[olegoleg]

Значит, точка приложения $N$ зависит от угла
$Nx + mg \sin a \frac{l}{2} - mg \cos a \frac{l}{2} = 0$
$x = \frac{l}{2}(1 - \tg a)$
при $a=0$, $x= \frac{l}{2}$
при $a = 22.5$, $x = 0.3l$
при $a=45$, $x=0$ (куб стоит на ребре)
Вроде бы всё верно. Сообщите мне если нет.
Спасибо за ваш ответ.

[EUgeneUS]

olegoleg
Первый вопрос: на кубик действуют три силы. Момент одной из них - ноль. Почему в <3> три слагаемых?
Второй вопрос: какое плечо у силы тяжести?

Upd1. В прочем, ответ на второй вопрос есть ответ на первый.
Upd2. Сила реакции опоры не может быть приложена к середине стороны кубика - достаточно рассмотреть моменты относительно ц.м. "Локализация" силы реакции опоры имеет право, но не всегда - зависимости от вопроса, который ставится в задаче.

[iifat]

EUgeneUS в сообщении #1182047 писал(а):

Почему в <3> три слагаемых?

Потому что ТС приспичило разложить силу тяжести на две составляющих. Зря, согласен, но вполне имеет право, не?

olegoleg в сообщении #1182033 писал(а):

Вроде бы всё верно

Да. Примерно так, имхо.

[EUgeneUS]

iifat в сообщении #1182079 писал(а):

Потому что ТС приспичило разложить силу тяжести на две составляющих. Зря, согласен, но вполне имеет право, не?

Да. - про себя.

Остаётся вопрос - а ЗАЧЕМ, локализировать силу реакции опоры в одной точке? Это зависит от вопроса в задаче. А его нет.

[iifat]

EUgeneUS в сообщении #1182083 писал(а):

зачем локализировать силу реакции опоры в одной точке?

Чтобы вместо интегралов по поверхности писать просто произведение же ж.

[EUgeneUS]

iifat

Всё зависит от вопроса в задаче. (А его нет). Пример:

1. Где должно быть ведущее колесо, чтобы "брусок" мог забраться в гору с максимальным уклоном?

2. Сейф тащут по тонкому льду. Как надо тащить, чтобы не провалиться?

3. Грабители воруют банкомат. Какие доски они должны взять, чтобы не облажаться?

4. На перевале Кутуерык переднеприводные машины не едут вверх, а заднеприводные легко поднимаются. Вопрос: сколько человек надо посадить на капот ФордФокуса, чтобы он забрался наверх?

[iifat]

EUgeneUS в сообщении #1182086 писал(а):

А его нет

Ну, не то чтоб совсем нет. Вопрос — при каких углах наклона кубик может лежать на столе. Ваши вопросы тоже очень интересные, но ТС они (пока?) не занимают. И да, вот эта простенькое приближение реакции опоры как силы, приложенной в некой точке, для них, вполне возможно, слишком уж простенькое.

[EUgeneUS]

iifat

Вопрос (который как-то генетически сложился у ТС) очень простой - в какое место нижней грани кубика можно присунуть очень небольшой уголок, так чтобы кубик на этом уголке был уравновешен. Но остался другой вопрос - зачем? Другой вопрос - при каких условиях, этот "уголок" надо присунуть в нижний левый угол (иначе говоря, при каких условиях кубик опрокинется).

[iifat]

EUgeneUS в сообщении #1182091 писал(а):

в какое место нижней грани кубика можно присунуть очень небольшой уголок, так чтобы кубик на этом уголке был уравновешен

О! Спасибо за изящную формулировку.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

да пожалуйста