Зачем нужны ростки?

[Grabovskiy]

Здравствуйте! Читаю математический анализ Львоского. Не могу понять, для чего нужно строить ростки функций (можно обойтись без этого, как мне кажется). Росток -- класс эквивалентности, элементы которого есть гладкие отображения, совпадающие в окрестности некоторой фиксированной точки. Ростки образуют кольцо, на котором впоследствии вводятся дифференцирования. Но зачем переходить к росткам, если можно определять дифференцирования на кольце гладких в некоторой окрестности фиксированной точки функций? Где есть преимущество рассмотрения ростков?

И еще один маленький вопрос. Зачем, бывает, строят касательное пространство как фактор гладких кривых по равенству их скоростей в фикс. точке, если все равно под касательным вектором понимают потом (и удобнее понимать) некоторое дифференцировние? Не излишне ли это?

[Brukvalub]

Grabovskiy в сообщении #1181721 писал(а):

можно определять дифференцирования на кольце гладких в некоторой окрестности фиксированной точки функций?

Дайте строгое определение этого кольца.

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1181724 писал(а):

Grabovskiy в сообщении #1181721 писал(а):

можно определять дифференцирования на кольце гладких в некоторой окрестности фиксированной точки функций?

Дайте строгое определение этого кольца.

Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $p \in M$. Собираем в множество $ \mathcal{F}(p)$ гладкие функции вида $f : U \rightarrow \mathbb{R}$, где $U$ -- (например) какая-либо открытая окрестность точки $p$ (у каждой функции может быть своя окрестность). Операции задаем так: если $f:U\rightarrow \mathbb R$ и $g:V\rightarrow \mathbb R$ -- элементы множества $\mathcal F(p)$, то их суммой/произведением назовем их поточечную сумму/произведение на $U\cap V$. Так мы получаем кольцо.

Касательными векторами в точке $p$ называем тогда отображения вида $v : \mathcal F(p) \rightarrow \mathbb R$, определяемые соотношениями $v(f) = (f \circ x)^\prime (0)$, где $x :(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M$ -- гладкая кривая такая, что $x(0)=p$.

[Brukvalub]

Нехорошо, что много разных элементов кольца порождают один и тот же кас. вектор. Для ростка такого не происходит.

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1181740 писал(а):

Нехорошо, что много разных элементов кольца порождают один и тот же кас. вектор. Для пучка такого не происходит.

Понимаю, но существенно ли это где-нибудь?
Вот к примеру, переход к фактору в $L_p$-пространствах нужен для хаусдорфовости, что существенно; есть ли здесь что-нибудь такое, какое-нибудь важное свойство, которое появляется при переходе к росткам? Что плохого в том, что кас. вектор будет порождаться большим числом разных элементов кольца?

[Brukvalub]

Думаю, что мне не стоит повторять азбучные истины, лучше предложить вам почитать уже имеющуюся тему.

[popolznev]

Grabovskiy в сообщении #1181721 писал(а):

Где есть преимущество рассмотрения ростков?

Не надо беспокоиться об областях определения. Из формулировок теорем исчезают вот эти занудные приговорочки: "одна функция определена на одной окрестности, другая на другой: тогда в третьей окрестности, лежащей в пересечении первых двух... тыр-тыр-тыр".

[Grabovskiy]

Решил поднять эту тему, поскольку через полгода случайно нашел ответ в книге Lee, Introduction to Smooth Manifolds.

Цитата:

The germ definition has a number of advantages. One of the most significant is that it makes the local nature of the tangent space clearer, without requiring the use of bump functions. Because there do no not exist analytic bump functions, the germ definition of tangent vectors is the only one available on real-analytic or complex-analytic manifolds.

(germ есть росток)

Действительно, если определять касательное пространство через дифференцирования, то сразу же доказывается утверждение (с использованием шапочки, bump function), что дифференцирование зависит только от поведения функции близ заданной точки. Если нет возможности пользоваться шапочками, то и утверждение такое непонятно как доказывать. В таком случае можно воспользоваться определением через ростки.