Формула Пуассона

[StaticZero]

Нужно доказать формулу Пуассона при том, что $S = \{x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$:

$$ \iint \limits_S f(ax + by + cz) \, \mathrm dS = 2 \pi \int \limits_{-1}^{+1} f(u\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}) \, \mathrm du. $$

На данный момент я получил

$$ \iint \limits_S f(ax + by + cz) \, \mathrm dS = 2 \pi \int \limits_{-1}^{+1} f(ax + by + cz) \, \mathrm du, $$

где замена полярная: $x = \sin \psi \cos \varphi$, $y = \sin \psi \sin \varphi$, $z = \cos \psi$, а новая переменная $u = \cos \psi$. Тут какой-то хитрый кульбит должен быть, коль $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ есть длина вектора

$$ \mathbf r_0 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}? $$

Я не понял, что дальше. С наступившим вас.

[Vince Diesel]

Чего бы не сделать поворот, после которого ось $x$ будет параллельна ${\bf r}_0$? Тогда подинтегральная функция превратится в $f(|{\bf r}_0|x)$.

[StaticZero]

К сожалению, не могу ответить, потому что не понял...
Как это от поворота интегральная функция будет такой? Поясните, пожалуйста.

[Vince Diesel]

В исходном интеграле стоит $f(({\bf r}_0,{\bf r}))$, где ${\bf r}=(x,y,z)$. При поворотах скалярное произведение не меняется... А если повернуть систему координат так, чтобы ${\bf r}_0=(|{\bf r}_0|,0,0)$, то...

[StaticZero]

Угу, понял идею, спасибо.