2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
Vince Diesel в сообщении #1181036 писал(а):
то она должна убывать до нуля на $[1/2,1]$, $f''(x)=-C$

она как была, так и осталась... выпуклость не менялась
производная РАСТЕТ до нуля

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:45 
Модератор
Аватара пользователя


09/05/12
10163
Кронштадт
Хотя, пожалуй, нет: гладкости в $x=1$ это не обеспечит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:31 
Заслуженный участник


25/02/11
1455
alcoholist в сообщении #1181041 писал(а):
она как была, так и осталась... выпуклость не менялась

Не понял. Для условия $|f''|\le C$ получается $f''(x)=C$ при $0<x<1/2$ и $f''(x)=-C$ при $1/2<x<1$,
$$
f(x)=
\begin{cases}
 \frac{Cx^2}{2} & 0<x\leq \frac{1}{2} \\
 \frac{C}{4} \left(-2 x^2+4 x-1\right) &  \frac{1}{2}<x\leq 1
\end{cases}
$$
и $f(1)=C/4$ а не $f(1)=C/2$, как в случае постоянного роста $f'$ на $[0,1]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:35 


16/02/10
209
Сформулируем задачу как задачу оптимального перемещения точки единичной массы ограниченной силой:
$\dot x_1=x_2, \quad \dot x_2=u;$
$x_1(0)=x_2(0)=x_1(2)=x_2(2)=0;$
$\int_0^2{x_1(t)dt}\to \max_u, \quad |u|\le C$
Можно применить принцип максимума и получить строгое решение. Но мне представляется очевидным, что задача сводится к задаче перемещения точки за время $t=1$ на максимальное расстояние $x_1(1)$ с нулевой конечной скоростью $x_2(1)=0$ и симметричному возвращению точки в нулевое состояние. И оптимальный закон управления имеет вид $u^*=C$ при $0\le t<0.5$, $u^*=-C$ при $0.5\le t<1.5$, $u^*=C$ при $1.5\le t<2$, а искомая оптимальная функция $x^*_1(t)$ имеет вид гладкого колокола, составленного из парабол. Максимальное значение $\int_0^2{x^*_1(t)dt}=0.25C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
Vince Diesel в сообщении #1181049 писал(а):
Для условия $|f''|\le C$

Откуда это условие? Почему отрезок $[0;1]$? Лень в уме на двойки умножать-делить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:51 
Заслуженный участник


25/02/11
1455
На $[1,2]$ симметрично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение31.12.2016, 10:11 
Аватара пользователя


21/09/12
1072
Именно парабола - и только она - в любой точке точно равна в своей второй производной заданной константе. А значит, и площадь будет максимальна. Любая иная функция "срезает" на графике - касательной второй производной - часть этой площади.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group