2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение10.12.2016, 22:58 


18/11/16
6
Рассмотрим вкратце основные этапы доказательства ВТФ-3, базируясь на источниках:
1."Великая теорема Ферма", А.Я.Хинчин, издат.ЛКИ, издание 3-е, 2007.
2."Последняя теорема Ферма", П.Рибенбойм, издат."Мир", 2003.
3."Исследования по теории чисел и диофантову анализу", П.Ферма, издат.ЛКИ, 2007, (док-во Эйлера-Вейля с комментариями И.Г.Башмаковой и Т.А.Лавриненко, стр.251-254).

Попробуем изложить эти этапы "школьными" рассуждениями, доступными широкому кругу любителей математики.
Пусть (a,b,c) - тройка взаимно простых (попарно) натуральных чисел, связанных соотношением $a^3 + b^3 = c^3$, и чётным в этой связке является число а. Тогда возьмём соотношение $a^3 = (c-b)(c^2 +cb + b^2)$, для которого далее рассматриваем два случая: в первом число а не делится на 3, во втором делится. При этом неполный квадрат нечётных чисел b и c представляем в виде целочисленной квадратичной формы $(\frac{c-b}{2})^2 +  3(\frac{c+b}{2})^2$, то есть в виде $U^2 +3V^2$, где U и V - взаимно простые разночётные натуральные числа (в данной форме U - чётное, V - нечётное), причём U не делится на 3.

В первом случае числа $c-b$ и $c^2 + cb + b^2$ - взаимно простые и являются кубами. Тогда неполный квадрат должен быть кубом аналогичной первоначальной квадратичной формы $u^2 + 3v^2$, в которой число u не делится на 3, и результатом возведения которой в куб должна стать форма $U^2 + 3V^2$, имеющая конструкцию:

$(u(u^2 - 9v^2))^2 + 3(v(3u^2 - 3v^2))^2$. А далее гениальный Эйлер делает нечто невероятное, показывая нам изумительную "одежду голого короля", - он "работает" только с первой частью U конструкции формы, получая ВТФ-3 для других чисел (и метод спуска), но "забывает" про вторую часть V этой же конструкции. Число V обязано делиться на 3, но оно не делится, - так как если a не делится на 3, то должно делиться на 3 или b, или c, - поэтому число $c+b$ делиться на 3 не может, и поэтому полученная конструкция формы в данном случае не может являться кубом аналогичной целочисленной формы. Так что случай неделимости на 3 чётного числа из связки натуральных чисел (a,b,c) невозможен.

Между тем тот факт, что в ВТФ-3 одно из трёх чисел обязано делиться на 3, известен давно. Простейшее доказательство этого - "от противного": $(3a_0 \pm 1)^3 + (3b_0 \pm 1)^3 = (3c_0 \pm 1)^3$ , из чего следует $9A \pm 1 + 9B \pm 1 = 9C \pm 1$ , и здесь никакая комбинация знаков трёх единиц не даст деления на 9.

Второй случай рассмотрим "по Эйлеру", но с нашей "модификацией". Пусть чётное число a среди своих простых множителей содержит k троек. Тогда $c - b = 3^{3k-1}z^3$ , $c^2 + cb + b^2 = 3h^3$ , $a = 3^{k}zh$ , где z - чётное, h - нечётное, и троек они не содержат. Для неполного квадрата после сокращения на 3 в его выражении квадратичной формой получаем $(\frac{c+b}{2})^2 + 3(\frac{c-b}{6})^2 = h^3$. После подстановки $h^3 = U^2 +3V^2$, где $h = u^2 + 3v^2$, и "работая" далее с частью V конструкции формы, получим соотношение $(3^{3k-2}z^3)^2 = 4(v(3u^2 - 3v^2))^2$; отсюда имеем: $3^{3k-3}z^3 = 2v(u+v)|u-v|$, из чего следует: $u+v=x^3_{odd}$ , $|u-v|=y^3_{odd}$ , $2v=3^{3k-3}t^3_{even}$ , $z=t_{even}x_{odd}y_{odd}$ , где even - чётное, odd - нечётное, t,x,y - натуральные, взаимно простые (попарно), и троек они не содержат. В результате получаем ВТФ-3 для новой связки чисел: $x^3_{odd}\pm y^3_{odd}=(3^{k-1}t_{even})^3$. Заметим, что в новой связке чётное число имеет среди своих простых множителей на одну тройку меньше, чем в предыдущей связке, - получается такой вид "спуска".

Где-то в литературе имеется утверждение (кажется, у П.Рибенбойма, - но без док-ва) для ВТФ в общем виде: если одно из связки чисел делится на показатель степени p, то оно делится на $p^2$. Мы можем это доказать, а также для ВТФ-3 доказать делимость одного из чисел на 27 (это сложнее, чем на 9) и даже на 81 (это ещё сложнее), но здесь и сейчас в этом нет необходимости. В нашем случае "спуска" по количеству троек в одном из чисел связки мы придём к необходимости перехода к нулевому или иррациональному варианту одного из чисел очередной связки, из которого обратный переход к связкам с натуральными числами будет невозможен.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение13.12.2016, 20:53 


21/11/10
463
leonid filiforsnik в сообщении #1175788 писал(а):
Тогда $c - b = 3^{3k-1}z^3$ , $c^2 + cb + b^2 = 3h^3$ , $a = 3^{k}zh$ , где z - чётное, h - нечётное, и троек они не содержат.

Уважаемый leonid filiforsnik!
Если Вы утверждаете, что $a$ содержит $k$ троек то почему не упоминаете о других раскаладах тройки в произведении:
$ (c-b)((c-b)^2+3cb)$
что изменится если:
$c-b=3^{3k-m}z^3$ и $(c-b)^2+3cb=3^mh^3$

Может быть ещё не пришла пора нам замахиваться на Леонарда нашего Эйлера? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение14.12.2016, 03:03 


18/11/16
6
Уважаемый ishhan!
Я не утверждаю, а предполагаю, что изначально у числа $a$ может содержаться $k$ троек. Тогда число $c^3 - b^3$ должно содержать $3k$ троек; из них неполный квадрат может содержать только одну, а остальные тройки в количестве $3k-1$ обязана содержать разность $c-b$. Это следует из того, что число $(c-b)^2+3cb$ является суммой двух слагаемых, из которых второе содержит только одну тройку, а первое - больше одной.
Поэтому, - спасибо за сообщение, но в нём возможно только $m=1$.
А насчёт "замахиваться на Эйлера", - давно пора, и не только на него. Его промах понятен и простителен ввиду правильности идеи и доказательства в целом: он искал и нашёл метод спуска (пусть в одном случае, а не в двух). Но куда смотрели и почему ничего не видели комментаторы-специалисты-учёные? Или видели, но молчали, не желая подрывать авторитет гения? Вот и, например, в учебном пособии "Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики" (2001г.) В.А.Колосов пишет: "Заметим, что разделение на два случая в доказательстве Эйлера эквивалентно разделению на случай, когда одна из компонент решения делится на 3, и случай, когда ни одна из компонент решения не делится на 3". А зачем в XIX-XX вв учёные-математики для ВТФ-5 рассматривали случай неделимости на 5 ни одного из связки трёх чисел (список математиков дан в книге П.Рибенбойма), когда делимость на 5 одного из чисел легко устанавливается даже без знания теоремы Софи Жермен и различных более древних китайских теорем об остатках? Вопросов много...

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение14.12.2016, 10:03 


21/11/10
463
leonid filiforsnik в сообщении #1176814 писал(а):
Поэтому, - спасибо за сообщение, но в нём возможно только $m=1$.

Уважаемый leonid filiforsnik!
Вы правы m=1.
Распишите подробности Вашего метода спуска и того что
leonid filiforsnik в сообщении #1175788 писал(а):
$h = u^2 + 3v^2$

Удачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение15.12.2016, 07:53 
Аватара пользователя


03/06/08
437
МО
leonid filiforsnik в сообщении #1175788 писал(а):
Число V обязано делиться на 3

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение15.12.2016, 09:40 


18/11/16
6
Уважаемый пианист!
В тексте моего сообщения указана конструкция квадратичной формы $U^2+3V^2$, и в ней числом $V$ служит выражение $v|3u^2-3v^2|$, содержащее множитель 3. Внимательнее читайте текст! Спасибо за вопрос!

-- 15.12.2016, 10:32 --

Уважаемый ishhan!
Метод спуска не мой, а П.Ферма; у меня только способ другой, а идея та же, она кратко в сообщении указана. Что касается вопроса о квадратичной форме, - есть много первоисточников, в том числе перечисленные в начале моего сообщения книги. Объяснять подробно здесь, - извините, нет у меня такого времени, да и форум для этого не предназначен; это является объёмной работой для преподавателей и учителей математики и репетиторов, а также предметом самостоятельного изучения интересующимися. А моя цель - элемент новизны в известном материале и краткость её изложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение15.12.2016, 11:04 
Аватара пользователя


03/06/08
437
МО
leonid filiforsnik в сообщении #1177086 писал(а):
В тексте моего сообщения указана конструкция

Уфф! Не знаю, как зайти к вопросу ;)
Если нетрудно, укажите точно тот логический переход в доказательстве Эйлера, который Вы считаете ошибочным.
А то как-то непонятно, где, собс-но, ошибки ищем - в доказательстве Эйлера, или в Вашем сообщении.
И еще, если уж обсуждаем не исходный текст, давайте хотя бы на Эдвардса опираться, что ли, плюс-минус стандартный источник по предмету.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение15.12.2016, 21:29 


21/11/10
463
leonid filiforsnik в сообщении #1177086 писал(а):
Что касается вопроса о квадратичной форме, - есть много первоисточников, в том числе перечисленные в начале моего сообщения книги. Объяснять подробно здесь, - извините, нет у меня такого времени, да и форум для этого не предназначен;

Уважаемый leonid filiforsnik, в дополнении к вашим ссылкам http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/numtheory.htm
На этом интернет ресурсе отметим культовую книгу Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1978
и доказательство леммы Эйлера стр. 31 и далее.
И все же, может быть Вы дадите ещё немного разъяснений по поводу "школьной ошибки Л.Эйлера" основываясь на этом источнике.
А может быть, Вы в зашифрованном виде публикуете своё открытие!

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение16.12.2016, 01:57 


18/11/16
6
Уважаемые господа пианист и ishhan!
В своём первом ответе господину ishhan я привёл цитату из учебного пособия В.А.Колосова (в 2001г.- научный сотрудник СУНЦ МГУ, спец. по теории чисел, выпускник мехмата МГУ, кфмн), в которой сказано о разделении док-ва ВТФ-3 Эйлером на два случая. Смысл моего сообщения: а зачем вообще рассматривать один из случаев (в котором ни одно число из связки чисел $(a,b,c)$ не делится на 3), если он невозможен теоретически? .Объясняю чуть подробнее. Связка $(u,v)$ при возведении в куб даёт связку $(U,V)$, в которой $U=u|u^2-9v^2|, V=v|3u^2-3v^2|$. Далее Эйлер рассматривает только число $U$, раскладывая его на множители (в буквенном виде), манипуляции с которыми дают новую тройку чисел и метод спуска, - и при этом не обращает внимания на число $V$, из буквенного выражения которого следует его делимость на 3 (которая в данном случае невозможна); то есть Эйлер не учитывает то обстоятельство, что оба числа действуют в связке, и если любое из них "не работает", то и невозможно существование самой связки. И поэтому "алгебраические числа, Постников и Эдвардс" тут вообще ни при чём, ошибка Эйлера от них не зависит, - она такая же, как если бы вы решали в школе систему двух уравнений с двумя переменными и занялись бы проверкой решения по одной из переменных , не учитывая другую. Благодарю за вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение16.12.2016, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
13982
Новомосковск
leonid filiforsnik в сообщении #1177428 писал(а):
Смысл моего сообщения: а зачем вообще рассматривать один из случаев (в котором ни одно число из связки чисел $(a,b,c)$ не делится на 3), если он невозможен теоретически?
Как раз затем, чтобы доказать, что он "невозможен теоретически". А зачем же ещё? Или Вы считаете, что Эйлер был обязан делать это именно так, как желаете Вы? Видимо, он забыл с Вами посоветоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение16.12.2016, 19:54 


18/11/16
6
Уважаемый Someone!
Разумеется, гениальный Эйлер сделал так, как считал нужным. А в предложении "зачем вообще рассматривать один из случаев (в котором ни одно из связки чисел $(a,b,c)$ не делится на 3), если он невозможен теоретически?" я подразумевал как раз обязательную делимость на 3 одного из чисел, доказываемую устно одной строкой (приведена в тексте моего сообщения). И риторический вопрос адресован, разумеется, не Эйлеру, а комментаторам его док-ва (о чём я написал в ответе ishhan). Попробуйте и Вы задаться вопросом: можно ли считать целочисленную квадратичную форму $U^2+3V^2$ кубом аналогичной формы $u^2+3v^2$, если $V$ не делится на 3? Считаю, что нельзя, или я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение16.12.2016, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
13982
Новомосковск
Пускай нельзя. Но это надо доказать. А если не доказать, то будет дырка в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение26.12.2016, 09:25 


18/11/16
6
Уважаемый Someone!
Извините, но какую "дырку в доказательстве" Вы имеете в виду (что "это надо доказать")?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ-3. Школьная ошибка Эйлера
Сообщение26.12.2016, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
13982
Новомосковск
Естественно. "Считаю, что нельзя" — это не доказательство.
А если это уже кем-то доказано и опубликовано, то надо дать ссылку.
Но боюсь, что тогда всё ваше доказательство сведётся к ссылке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group