Энергия взаимодействия электрона с электромагнитным полем

[Ascold]

В книгах по КТП говорят, что она даётся выражением

$$ej^{\mu}A_{\mu},$$

где

$$j^\mu=\bar{\psi}\gamma^\mu\psi.$$

Интересует, почему, собственно, такое простое выражение - я что-то забыл из электродинамики, или это приблизительная формула с линейным членом тейлоровского разложения? Ведь уравнение Дирака не является уравнением для волновой функции релятивистской частицы, чтобы не утонуть в "море электронов", потому $j^\mu$ - не плотность тока вероятности.
Т.е. я знаю, что в присутствии электромагнитного поля, чтобы получить канонический импульс в лагранжиане частицы в поле, нужно вычесть из импульса соотв. величину с зарядом и векторным потенциалом, но ведь это всё классика, сколь обоснован здесь прямой перенос этого дела в КТП?
Читаю текст около формулы (4.49) у Садовского http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 2002ru.pdf

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1178731 писал(а):

$j^\mu$ - не плотность тока вероятности

Да, это не плотность тока вероятности, но зато это плотность электрического тока, а она-то нам и нужна.

[arseniiv]

Разве не $ej^\mu$ — плотность электрического тока? А то возьмём фермион с другим зарядом, у него будет тот же $j^\mu$, а плотность будет отличаться в отношение зарядов раз.

[warlock66613]

Да, разумеется, $j^{\mu}$ - это плотность электрического тока на единицу зарада частицы. Можно было бы назвать её разностью "плотности вероятноти обнаружить в данном месте электрон" и "плотности вероятности обнаружить позитрон", если бы эти величины были хорошо определены.

[Ascold]

С этим, вроде бы разобрался - глянул ещё у Бьёркена и Дрелла этот вопрос. Но с чтением 4 главы Садовского http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 2002ru.pdf всё равно какая-то ерунда... почему в (4.55) для пропагатора фермионного поля надо добавлять множителем матрицу $\beta$, она же $\gamma_0$?