Задачка по динамике

[michaelkehl]

Доброго времени суток! Дана задача по теормеху. Хочу уточнить некоторые моменты и попытаться разобраться.
У нас из проволоки сделан правильный треугольник c длиной стороны $l$, нужно найти его период малых колебаний происходящих в плоскости рисунка вокруг неподвижной оси $o$, перпендикулярной к плоскости чертежа.
Суть в том, что я примерно знаю решение для случая однородной пластинки - т.е. мы сначала отклоняем на угол $\varphi$, пишем реакции связи и силу тяжести, потом составляем диф. у-е для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и получаем диф. у-е колебаний пластинки. Но у нас, как я понял, внутри ничего нет, то есть просто каркас треугольника.
Что будет меняться и будет ли? До сегодняшнего дня даже не знал, где центр тяжести, но препод сказал, что он там же и будет на пересечении медиан.
И второй вопрос, как нам дальше перейти к периоду малых колебаний? Т.к. вроде у нас период малых колебаний физ. маятника известен.
Большое спасибо!


собственно, так я решал для случая однородной пластинки:
$J_z\ddot{\varphi}=M_z^e$,
$M_z^e=\sum{m_z(\bar{F_k^e})=-Ph_c=-MgOCsin{\varphi}=-\frac {\sqrt{3}}3\ Mglsin (\varphi)}$,
$J_z=\frac{5}{12}Ml^2$,
подставляем в общую формулу:$ \frac{5}{12}Ml^2\ddot{\varphi}= -\frac {\sqrt{3}}3\ Mglsin (\varphi)}$

в итоге получаем $\ddot{\varphi}+\frac{4\sqrt{3}}{5}\frac{g}{l}\sin{\varphi}=0$ - уравнение колебаний,
для случая малых колебаний, т.е. $\varphi \ll1$, следует, что $\ddot{\varphi}+\frac{4\sqrt{3}}{5}\frac{g}{l}{\varphi}=0$,
все, что перед $\varphi$ - это собственная частота колебаний.

upd.: сегодня препод сказал, что и правда $J_z$ ( момент инерции) будет другим, теперь вот вопрос как его посчитать. А период мы будем в дальнейшем искать как $T=2\sqrt{\frac{J}{mgl}}$ или же через собственную частоту можно подставить как $T=2\pi f$, где $f=k=\frac{4\sqrt{3}}{5}\frac{g}{l}$ ?

[Munin]

michaelkehl в сообщении #1176304 писал(а):

Что будет меняться и будет ли?

Момент инерции изменится. А дальше обычный физический маятник.

Но вообще давать задачу в таком виде, как у вас, - хамство по отношению к другим участникам форума, к помогающим.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- оставьте в виде картинки только собственно картинку и вставьте ее в сообщение с помощью тега [img]
- приведите собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[michaelkehl]

Munin в сообщении #1176313 писал(а):

michaelkehl в сообщении #1176304 писал(а):

Что будет меняться и будет ли?

Момент инерции изменится. А дальше обычный физический маятник.

Но вообще давать задачу в таком виде, как у вас, - хамство по отношению к другим участникам форума, к помогающим.

Не подскажите ли, как нам найти момент инерции? Надеюсь, перестал быть "хамом" в ваших глазах.

[amon]

michaelkehl в сообщении #1176787 писал(а):

Не подскажите ли, как нам найти момент инерции?

С помощью теоремы Гюйгенса — Штейнера.

[Munin]

У вас куда-то пропали условия задачи, которые были написаны рядом на бумажке. Напишите их текстом, плиз.

Насчёт момента инерции:
- разбиваете контурный треугольник на три палки;
- момент инерции палки, закреплённой с конца, вам должен быть известен;
- для основания треугольника можно воспользоваться теоремой Штейнера (впрочем, для боковой стороны тоже).

[michaelkehl]

Munin в сообщении #1176798 писал(а):

У вас куда-то пропали условия задачи, которые были написаны рядом на бумажке. Напишите их текстом, плиз.

Насчёт момента инерции:
- разбиваете контурный треугольник на три палки;
- момент инерции палки, закреплённой с конца, вам должен быть известен;
- для основания треугольника можно воспользоваться теоремой Штейнера (впрочем, для боковой стороны тоже).

Из условий у нас было лишь то, что правильный треугольник сделан из проволоки длиной $3l$, а на полях были посчитаны стороны $OC$ и $OD$.
Так, я кажется решил. У нас момент инерции $J_z$ складывается из моментов инерции 3 стержней - $J_z^{BA}, J_z^{OA}, J_z^{OB}$
Моменты инерции боковых нам известны - $J_z=\frac{1}{3}ml^2$
Момент инерции $J_z^{BA}$ найдем по теореме Г-Ш:
перенесем ось в точку $B$, получим $J_{zB}=J_{zD}+m({BD})^2$, $ J_{zD}=J_{zB}-m({BD})^2=\frac{1}{3}ml^2-m({BD})^2$
$J_{zD}=\frac{1}{3}ml^2-m(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{3}ml^2-\frac{1}{4}ml^2=\frac{1}{12}ml^2$
далее найдём непосредственно $J_z^{BA}=J_{zD}+m({OD}^2)=\frac{1}{12}ml^2+\frac{3}{4}ml^2=\frac{5}{6}ml^2$ (т.к $BD=\frac{\sqrt3}{2}l$),
найдем $J_z$ : $J_z=\frac{2}{3}ml^2+\frac{5}{6}ml^2=\frac{3}{2}ml^2$ - искомый момент инерции.
подставим все в формулу колебаний для физ. маятника: $\frac{3}{2}ml^2\ddot{\varphi}=-\frac{\sqrt3}{3}Mglsin(\varphi)$
$\frac{3}{2}ml^2\ddot{\varphi}+\frac{\sqrt3}{3}Mglsin{\varphi}=0$
сократим на $M$ и $l$ и разделим на коэф-т перед $\ddot{\varphi}$
получим $\ddot{\varphi}+\frac{\sqrt3}{3}\frac{3}{2}\frac{g}{l}\sin{\varphi}=0$,
т.к колебания малые, то $\sin{\varphi}=\varphi$

получаем: $\ddot{\varphi}+\frac{\sqrt3}{3}\frac{3}{2}\frac{g}{l}\varphi=0$
таким образом, все, что перед $\varphi$ - собственная частота.
И в лекциях я нашел, что период колебаний для физ. маятника: $T=\frac{2\pi}{K}$,
где $K=\frac{\sqrt3}{3}\frac{3}{2}\frac{g}{l}$

Ну как вам?

P.s. что-то я запутался с синусом, надо или не надо перед ним обратный слэш ставить?

[Aritaborian]

michaelkehl в сообщении #1176960 писал(а):

что-то я запутался с синусом, надо или не надо перед ним обратный слэш ставить?

Надо: \sin.

[Munin]

По-моему, в теореме Штейнера предлагалось переносить ось вращения в центр масс (стержня). Это явно не точка $B.$

Перед синусом бэкслеш надо, потому что с бэкслеша начинаются все команды. Без бэкслеша они воспринимаются просто как сочетание букв (переменных) $s,i,n.$ Впрочем, это не слишком критично, и так читаемо.

[michaelkehl]

Munin в сообщении #1176968 писал(а):

По-моему, в теореме Штейнера предлагалось переносить ось вращения в центр масс (стержня). Это явно не точка $B.$

Перед синусом бэкслеш надо, потому что с бэкслеша начинаются все команды. Без бэкслеша они воспринимаются просто как сочетание букв (переменных) $s,i,n.$ Впрочем, это не слишком критично, и так читаемо.

Ой, да, мы там для точки $D$ рассчитываем, как я понял. Мне эту комбинацию с вычислением момента $J_z^{BA}$ подсказали, и вроде бы это правильно. На самом деле я не совсем понимаю, как мы применяем теорему Штейнера - "момент инерции тела относительно оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведению массы тела на квадрат расстояния между этими осями". Судя по формулам, мы сначала рассчитываем для точки $B$, т.к. там как раз момент инерции точки $D$ и квадрат расстояния между осями через точки $B$ и $D$ на массу, если я правильно понимаю.
И дальше для $J_z^{BA}$ мы берем момент инерции для точки $D$ и квадрат расстояния между осями $O$ и $D$ на массу.

[Munin]

Чтобы понять, чего вы не понимаете, я хотел бы понять, чего вы понимаете, но понять этого по вашим словам невозможно.

[wide]

michaelkehl в сообщении #1176982 писал(а):

Ой, да, мы там для точки $D$ рассчитываем, как я понял. Мне эту комбинацию с вычислением момента $J_z^{BA}$ подсказали, и вроде бы это правильно.

Момент инерции $J_z^{BA}$ относительно оси $O$ у вас вычислен правильно, но только довольно странным способом - шиворот на выворот.
Обычно табличным значением является момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела (и придумано это для того, чтобы находить момент инерции тела относительно другой оси с помощью теоремы Штейнера).

Т.е. для вашей задачи логичнее взять табличный момент инерции стержня относительно его центра масс $J_z_0=\frac{1}{12}ml^2$.
Для стержня $BA$ вычислить момент инерции относительно оси $O$ - $J_z^{BA}=J_z_0+m({OD}^2)=\frac{1}{12}ml^2+\frac{3}{4}ml^2=\frac{5}{6}ml^2$.
Для стержней $OA$ и $OB$ можно либо вычислить моменты инерции относительно оси $O$ - $J_z^{OA}=J_z^{OB}=J_z_0+m({OA}^2)=\frac{1}{12}ml^2+m(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{3}ml^2$, либо сразу взять табличное значение.

[michaelkehl]

Munin в сообщении #1176991 писал(а):

Чтобы понять, чего вы не понимаете, я хотел бы понять, чего вы понимаете, но понять этого по вашим словам невозможно.

На самом деле конкретно в этой задаче я пытался разобраться с применением теоремы Гюйгенса-Штейнера. Но не совсем понимаю, какую мы берем ось, параллельную данной и проходящей через центр масс ( ведь данная ось - $O$ - как я понимаю, она направлена перпендикулярно к плоскости рисунка на нас, с пониманием как направлена ось $O$ проблемы нет. Центр масс у нас лежит на пересечении медиан в точке $C$, медианы делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. С квадратами расстояния вроде бы тоже все понятно более менее. А вот именно как мы выбираем параллельную ось, проходящую через центр масс, я не понимаю.
В принципе, задачу мне засчитают, я думаю, но вот осталось лишь удовлетворить собственное любопытство. Если бы вы (или кто-то еще) могли на парочке примеров объяснить применение теоремы на пальцах, было бы замечательно, т.к. в своих лекциях хорошего примера я не нашёл.

-- 15.12.2016, 01:36 --

wide в сообщении #1177017 писал(а):

michaelkehl в сообщении #1176982 писал(а):

Ой, да, мы там для точки $D$ рассчитываем, как я понял. Мне эту комбинацию с вычислением момента $J_z^{BA}$ подсказали, и вроде бы это правильно.

Момент инерции $J_z^{BA}$ относительно оси $O$ у вас вычислен правильно, но только довольно странным способом - шиворот на выворот.
Обычно табличным значением является момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела (и придумано это для того, чтобы находить момент инерции тела относительно другой оси с помощью теоремы Штейнера).

Т.е. для вашей задачи логичнее взять табличный момент инерции стержня относительно его центра масс $J_z_0=\frac{1}{12}ml^2$.
Для стержня $BA$ вычислить момент инерции относительно оси $O$ - $J_z^{BA}=J_z_0+m({OD}^2)=\frac{1}{12}ml^2+\frac{3}{4}ml^2=\frac{5}{6}ml^2$.
Для стержней $OA$ и $OB$ можно либо вычислить моменты инерции относительно оси $O$ - $J_z^{OA}=J_z^{OB}=J_z_0+m({OA}^2)=\frac{1}{12}ml^2+m(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{3}ml^2$, либо сразу взять табличное значение.

Спасибо за объяснения, завтра днём постараюсь разобраться

[Munin]

michaelkehl в сообщении #1177051 писал(а):

Центр масс у нас лежит на пересечении медиан в точке $C$

Нафиг. Вы ищете момент инерции отдельно отрезка $AB.$ А его центр масс лежит в точке $D.$ Вот туда и перемещайте ось.