Вопрос по закону сохранения импульса

[Neinstein]

Доброго времени суток всем!

Разбираю следующую задачу.
Человек массы $m_1$ с мячом массы $m_3$ стоит на тележке массы $m_2$. Тележка в свою очередь установлена на абсолютно гладкой поверхности. Человек бросает мяч с начальной скоростью $v_0$ под углом $\theta$ к горизонту. Необходимо найти скорость мяча после броска и скорость тележки.

Ход решения задачи понятен, понятно, что раз трения нет и, следовательно, внешних сил, которые могли бы привести к изменению импульса системы после броска, вдоль оси OX нет. Не понимаю причину (задача разобрана) невыполнения закона сохранения импульса вдоль оси OY:
Note that the y-component of the momentum is not constant because as the person is throwing the ball he or she is pushing off the cart and the normal force with the ground exceeds the gravitational force so the net external force in the y-direction is non-zero.

Т.е. сила реакции со стороны Земли на тележку с человеком, держащим мяч, превышает силу действия этой системы на Землю, т.е силу притяжения. Или тут предполагается, что сила реакции «инертна», меняется не мгновенно? Просто это кажется немного... странным.

Заранее спасибо!

[DimaM]

Neinstein в сообщении #1176184 писал(а):

Т.е. сила реакции со стороны Земли на тележку с человеком, держащим мяч, превышает силу действия этой системы на Землю, т.е силу притяжения.

В момент броска, естественно, превышает. Точно также, как при выстреле приклад действует на плечо стрелка с заметной силой.

[warlock66613]

Силу притяжения превышает, силу действия этой системы на землю - нет.

[Neinstein]

DimaM,
спасибо большое!
warlock66613,
это я понимаю, интересовали именно силы, действующие на систему в вертикальном направлении.

[warlock66613]

Neinstein в сообщении #1176192 писал(а):

интересовали именно силы, действующие на систему в вертикальном направлении

Собственно я это и имел в виду. Вертикальная составляющая полной силы, действующей со стороны человека на землю, равна (по величине) силе реакции земли.

[Munin]

Да там просто не может сохраняться импульс вдоль $Oy,$ потому что если бы он сохранялся, мяч полетел бы наверх, а тележка с человеком - вниз, ниже уровня горизонтальной плоскости.

Вообще в школе нехорошо поступают, обсуждая такие задачи, но не объясняя их внятно. Ходят кругами вокруг ударов и связей, не называя их вслух.

Момент броска формально считается мгновенным, то есть, при $t<0$ скорость мяча нулевая, а при $t>0$ - мяч уже летит. Это приводит к тому, что ускорение мяча в этот момент должно быть бесконечным, и силы, действующие в системе, - бесконечными.

(Это - только формально! Реально силы просто (1) довольно большие, и (2) трудно измеримые.)

В такой ситуации, надо вести расчёт не через силы, а через импульсы сил. Напомню, импульс силы - это интеграл от силы по времени:

$$\vec{I}=\int\vec{F}\,dt,\qquad d\vec{I}=\vec{F}\,dt$$

или по-школьному, $\Delta\vec{I}=\vec{F}\,\Delta t.$ Дело в том, что здесь мы видим две величины, одна устремляется в бесконечность ($F\to\infty$), а другая - в нуль ($\Delta t\to 0$), и эти два стремления "компенсируют" друг друга. Почему компенсируют? Потому что в итоге за бросок мяч приобретает конечный импульс:

$$p_y-p_{y0}=mv_y-mv_{y0}=\Delta I_y.$$

Вот этот импульс мы и можем точно определить, это "хорошая" величина, и поэтому на его основе и надо строить вычисления. Обратите внимание, что интервал времени, за который вычисляется момент импульса, в данном случае - это момент броска.

В терминах моментов импульса, 2-й закон Ньютона выглядит так:

$$\Delta\vec{p}=\Delta\vec{I},$$

а закон сохранения импульса:

$$\sum\Delta\vec{p}=0.$$

Теперь должно быть видно, что в проекции на ось $Ox$ импульс может сохраняться, этому ничего не препятствует, а вот в проекции на ось $Oy$ - не может, потому что вертикальный импульс человека и тележки, и до и после броска, равен 0. Поэтому, в проекции на ось $Oy$ в системе действуют силы со стороны Земли на тележку, со стороны тележки на человека, и наконец, со стороны человека на мяч, - и все они могут быть выражены импульсом силы. В данном случае, количественно одним и тем же.

[wide]

Тут какое дело, рассматриваем мяч. К нему приложена сила броска и сила тяжести. Сила броска больше силы тяжести и равнодействующая сила не равна нулю, мяч ускоряется.
Рассматриваем человека. К нему приложена тоже сила броска, сила тяжести и еще сила реакции опоры со стороны тележки. До броска сила тяжести и реакции опоры были равны, во время броска сила реакции опоры возрастает на величину силы броска, т.е. равнодействующая равна нулю. Человек не ускоряется.
Рассматриваем тележку - ситуация такая же, как и с человеком.
Рассматриваем Землю (такой же шарик, как и мяч). В данном случае к Земле будет приложена не нулевая равнодействующая, ситуация симметричная, т.е. импульс получает Земля и мяч через промежуточные тела. Но вот в задачах Землю выводят из системы и получается, что импульс не сохраняется, хотя это не правда.

[Munin]

В подсистеме, в которую не входит Земля, импульс и вправду не сохраняется.

Или сохраняется в расширенном смысле: с учётом импульса, переданного подсистеме. Впрочем, его-то мы и не знаем, так что для нас это всё равно означает, что законом сохранения импульса мы воспользоваться не можем.

А включать в систему Землю неудобно по многим причинам. Во-первых, мы не знаем всех сил, которые на неё действуют. Во-вторых, они могут быть достаточно большие, чтобы перевесить всё, что мы тут рассматриваем. Но с другой стороны, это всё равно не повлияет на нашу подсистему: в ней можно считать Землю практически неподвижной, если только бросок мяча не совпал с толчком землетрясения.

Интересней вопрос (в практическом плане, для решения задач), что импульс может сохраняться в одних проекциях, и не сохраняться в других. Здесь поможет только анализ условий задачи. Подсистема незамкнута в том смысле, что взаимодействует с Землёй. Но со стороны Земли на подсистему действуют только вертикальные силы, значит, по горизонтали подсистему можно считать свободной. В задачах с нитями и блоками, такими свободными направлениями могут оказаться "изогнутые" оси.