2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Реализация процесса в соответсвии с master equation
Сообщение11.12.2016, 03:34 


29/12/14
181
Доброго времени суток. Не уверен, что помещаю вопрос в нужный раздел, но поскольку вопрос как-то затрагивает численное моделирование, решил всё же сюда.

Итак, следующее имеется основное кинетическое уравнение (master equation, в википедии его так переводят на русский):

$\dot{p}_n(t) = r(n+1)\,p_{n+1}(t) + g(n-1)\,p_{n-1}(t) - \left(r(n) + g(n)\right)\,p_n(t)$,

где

$r(n) = \alpha \,n \text{, }\,\, g(n) = \beta \,n + \gamma$

Теперь мы хотим посмотреть на конкретные реализации (траектории) такого процесса. Причём делать мы хотим это самым примитивным методом: разбиваем наш временной промежуток на кусочки $\Delta t$ и смотрим, что произойдёт в каждой точке.

Вероятность перехода $n \rightarrow n + 1$ за небольшое время $\Delta t$

$P(n \rightarrow n + 1, \Delta t) \approx g(n) \Delta t$

Аналогично для перехода $n \rightarrow n - 1$

$P(n \rightarrow n - 1, \Delta t) \approx r(n) \Delta t$

То есть, по сути, как я понимаю, нужно просто на каждом шаге $i$ выбрасывать кубик, после чего делать проверку:

а) Если

$\text{rand}(0,1) < (\beta \,n(i) + \gamma) \Delta t$,

то делаем переход $n \rightarrow n + 1$.

б) Если

$(\beta \,n(i) + \gamma) \Delta t < \text{rand}(0,1) < \alpha \, n(i) \Delta t$,

то делаем переход $n \rightarrow n - 1$.

в) В противном случае не делаем ничего.

У меня назрел глупый вопрос, в котором я уже окончательно запутался.

1. Работоспособность всего этого дела принципиально зависит от выбора $\Delta t$, ведь может оказаться, что вероятность "прыжка" заведомо больше 1. Как я понимаю, физически это отвечает тому, что наш шаг превышает ожидаемое время прыжка.
2. Здесь интенсивность перехода линейно зависит от значения $n$, так что чем дольше идёт процесс, тем больше становится вероятность прыжка в одном из направлений. Начиная с какого-то момента, вышеуказанная проблема начнёт иметь место быть.

Как эту штуку вообще заставить хоть как-то работать прилично? Другие методы не предлагать, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реализация процесса в соответсвии с master equation
Сообщение11.12.2016, 16:10 


29/12/14
181
Что-то с утра свежей головой подумал... Можно ведь, наверное, просто каждый раз $\Delta t$ подстраивать. В общем, вопрос снимается, пожалуй.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: maxal, Karan, Toucan, PAV, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group